Страница 66 из 91
В том пункте, где заученные им общие схемы, рецепты и предписания не могут уже дать однозначного, алгебраически выверенного указания насчет того, как действовать в данном случае, в данной ситуации с данным явлением, с данным фактом, — человек с неразвитой силой воображения теряется и сразу, непосредственно от действия по штампу переходит к действию по чистому произволу, начинает блуждать и искать по известному методу «проб и ошибок», пока (и если) случайно не натолкнется на выход, на решение.
Метод проб и ошибок — очень непродуктивный метод поиска и в жизни и в науке. Его закон — чистый случай. К успеху этот метод приводит так же редко, как и попытка получить осмысленную фразу путем рассыпания типографского шрифта с надеждой, не уляжется ли он, случаем, в какой-то забавной последовательности…
Поэтому «чистым» методом «проб и ошибок» не действует ни один человек. В действии в поле свободного выбора всегда участвует в той или иной степени способность продуктивного воображения. В этой ее функции она чаще всего называется «интуицией», которая позволяет сразу, без испытывания, отбросить массу путей решения и предпочесть более или менее [250] ограниченный круг поиска. Она ограничивает сферу «проб и ошибок», — и чем интуиция более развита и культурна, тем более определенным с самого начала становится поиск.
* * *
Природа интуиции кажется очень таинственной и загадочной. На фактах, связанных с ее действием, особенно любят спекулировать сторонники иррационализма в философии. Эти факты настолько пестры и разнообразны, что можно впасть в отчаяние при попытке дать им рациональное материалистическое толкование, подвести их под какое-то общее правило, выявить хоть какой-то общий принцип и закон, которому они все подчиняются.
Интуиция — одно из самых важных проявлений той самой способности воображения, о которой мы говорили. Поэтому к ней относится все сказанное выше. Остается прибавить дополнительные характеристики. Выявить их можно анализом искусства. Но в искусстве мы имеем дело с очень сложными и развитыми формами интуиции и воображения. Поэтому попробуем обрисовать их на фактах, где ярко выраженное художественное чувство (соединенное с ощущением красоты) непосредственно пересекается с сугубо рациональным пониманием тех фактов, которых оно касается.
Речь идет об одной крайне любопытной геометрической теореме, анализ которой прямо сталкивает с действием «интуиции» или «силы воображения», повинующейся тому оригинальному «ощущению», которое называется ощущением красоты…
Оригинальность этой теоремы, занимавшей в свое время ум Декарта, заключается в том, что чисто формальные доказательства оказываются здесь абсолютно бессильными, если они лишаются опоры на «интуитивное» соображение, имеющее ярко выраженный эстетический характер, — на соображения, вернее, на доводы, непосредственного чувства, которые сами по себе опять-таки никакому формально-логическому доказательству не поддаются и тем не менее лежали в основе исследований такого строгого математика, каким был Кеплер. Приводим этот оригинальный случай по изложению известного американского математика Д. Пойа. Называется он «изопериметрической теоремой». Суть теоремы, сформулированной Декартом, состоит в следующем. [251]
Сравнивая круг с несколькими другими геометрическими фигурами, мы убеждаемся, что он имеет наименьший периметр из других пяти или десяти фигур, обладающих равной площадью. Декарт составил таблицу, которая наглядно это показывает и выглядит так:
Периметры фигур равной площади:
Круг — 3,55
Квадрат — 4,00
Полукруг — 4,10
Равносторонний треугольник — 4,56
(и т. д. — не будем продолжать таблицу Декарта, где приведены десять фигур).
«Можем ли мы отсюда посредством индукции вывести, как, по-видимому, предлагает Декарт, что круг имеет наименьший периметр не только среди десяти перечисленных фигур, но и среди всех возможных фигур?» Никоим образом, — говорит Пойа. — Обобщение, полученное от десяти случаев, никогда не дает гарантии в том, что в одиннадцатом случае будет то же самое. Это давно известно философии. В данном случае мы столкнулись с проблемой всеобщности и необходимости вывода, базирующегося на ограниченном числе фактов. Кант, исходя из этой трудности, заключил, что ни одно понятие, выражающее «общее» в фактически наблюдаемых явлениях, не может претендовать на всеобщность и необходимость и всегда находится под угрозой той судьбы, которая постигла знаменитое суждение «все лебеди — белые».
Тем не менее, — продолжает Пойа, — Декарт, как и мы, рассматривающие изопериметрическую теорему, был почему-то убежден, что круг есть фигура с наименьшим отношением периметра к площади не только по сравнению с десятью перечисленными, но и по сравнению «со всеми возможными».
В самом деле, говорит Пойа, наше убеждение в этом настолько сильно, что мы не нуждаемся в продолжении ряда, в дальнейших сравнениях.
В чём тут дело? В чём отличие от другой сходной ситуации, например от такой: пойдем в лес, выберем наугад десять деревьев разных пород, измерим удельный вес древесины каждого из них и выберем дерево с наименьшим удельным весом древесины. Иными словами, мы сделали то же самое, что и с геометрическими — фигурами… Разумно ли на этом основании заключать и верить, что мы нашли дерево удельный вес которого [252] меньше удельного веса всех существующих и возможных деревьев, а не только тех, которые мы измерили и взвесили?
«Верить этому было бы не только не разумно, но глупо.
В чем же отличие от случая круга? Мы расположены в пользу круга. Круг — наиболее совершенная фигура; мы охотно верим, что вместе с другими своими совершенствами круг для данной площади имеет наименьший периметр. Индуктивный аргумент, высказанный Декартом, кажется таким убедительным потому, что он подтверждает предположение, правдоподобное с самого начала» [13].
Вот все, что может сказать в обоснование правильности изопериметрической теоремы строгий математик. Если он хочет сказать что-то большее, он вынужден обратиться за помощью к эстетическим категориям. И Пойа приводит ряд высказываний, в том числе Данте, который (вслед за Платоном) называл круг «совершеннейшей» фигурой, «прекраснейшей» и «благороднейшей» фигурой… Факт есть факт. Теорема держится, как на «тайном» фундаменте, на доводе развитого чувства эстетического характера, чувства «красоты», «совершенства», «благородства» и пр. Лишенная этого фундамента, она разваливается. Интуиция, то есть довод эстетически развитого воображения, здесь включается в строгий ход математического формализма, даже задает ему содержание.
Дальше — больше. Теорема убедительна даже для человека, который и не тренировал свое восприятие созерцанием геометрических фигур. Если ту же теорему сформулировать не на плоскости, а в пространстве, то мы будем иметь дело с шаром, который, по тому же Платону, еще «прекраснее», еще «благороднее», чем круг… «В пользу шара мы расположены, пожалуй, даже больше, чем в пользу круга. В самом деле, кажется, что сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, — планеты шарообразны или почти шарообразны» [14].
Не потому ли шар кажется нам «прекрасной фигурой», что он — тот естественный предел, к которому [253] почему-то, а почему — неизвестно, «расположены» не только мы, а и сама природа? Не потому ли, что эта фигура — нечто вроде «цели», к которой тяготеют другие природные формы? Тогда что это за цель? Опять неясно. Ясно одно — все попытки определить «цель» или «причину», по которой сама природа «расположена» к форме шара, должны потерпеть неудачу. И не только потому, что природе вообще нелепо приписывать «цели», «расположение» и тому подобные категории, взятые из сугубо человеческого обихода, не только потому, что антропоморфизм вообще — плохой принцип объяснения природы. Эти попытки обречены на неудачу даже в том случае, если на секунду допустить, что тут есть какая-то «цель». Искусственно наложив категорию «цели» на такого рода факты, мы сразу же убедимся, что «цели» тут не только разные, но и прямо противоположные.
13
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Москва, 1975, с. 186.
14
Там же, с. 187.