Страница 22 из 30
Математика и ее место в современной науке
На пороге нашего столетия Б. Рассел говорил, что математика – это наука, которая не знает, о чем она говорит и истинно ли то, что она говорит. Такая независимость математики от физического содержания была основой ее универсальности. Сейчас, однако, математика знает, о чем она говорит. Начиная с общей теории относительности, выбор геометрии стал вопросом, адресованным природе в форме астрофизических наблюдений. Переходя от геометрии Евклида к геометрии Римана или Лобачевского, математика исходит из физической содержательности каждой из этих геометрий, причем эксперимент и наблюдение решают вопрос, истинно ли то, что она говорит о Вселенной.
Математика не потеряла своего универсального характера. Она говорит обо всем. Но это все стало физической системой пли, вернее, становится такой системой по мере выяснения физической связи между Метагалактикой и ультрамикроскопическим миром. Математика охватывает в растущей степени не только эти полюсы, но и все, что находится между ними. Основой универсальности математики становится сейчас не освобождение от критериев физического существования объектов, а их развитие.
В этих условиях в математике происходит быстрое развитие интегральных методов и функционального анализа. Но здесь есть и собственно философская сторона дела. В логико-математических дедукциях имеются своеобразные интервалы, которые можно перешагнуть только с помощью известного компромисса, т. е. путем игнорирования реальной нетождественности. Логико-математическая дедукция допускает компромисс каждый раз, когда она ставит знак равенства. Немецкий математик Г. Фреге отмечал, что в формулах, где фигурируют только объемы, – реальные тела, равные по объему, отнюдь не тождественны («Если я буду рассматривать дом соседа, равный моему по объему, как мой собственный…»[17]). Такое игнорирование нетождественности основано на аргументах, не включенных в ткань логико-математических дедукций, и устраненные нетождественные предикаты таят в себе нетавтологичность логико-математических дедукций. В современной науке подобное устранение нетождественности уже не может оставаться незамеченным. Разброс результатов измерений динамической переменной при измерении сопряженной переменной ставит более общий вопрос об условности теоретических конструкций. Эйнштейн называл логико-математическую идентификацию «грехом против разума». Но он добавлял при этом, что без такого греха познание не может идти вперед.
Компромисс, сопровождающий логико-математическую дедукцию, часто вытекает из физической интуиции – физической в широком смысле, т. е. в смысле еще логически не упорядоченного представления о реальности, постижимой через наблюдение и эксперимент. То, что называют математической интуицией, включает интуитивное физическое представление. Такая физическая интуиция, как растущий по своему значению компонент математического мышления, требует определенного философского обобщения и прежде всего анализа стиля современного научного мышления, его общих особенностей, выходящих за рамки отдельных отраслей науки.
Стиль научного мышления
Понятие стиля науки было выдвинуто физиками М. Борном и В. Паули в самом начале 50-х годов XX века в связи с разъяснением особенностей квантовой механики, прежде всего с необходимостью учитывать то воздействие, которое наблюдение вносит в наблюдаемый эффект. «Стили бывают и у физической теории, – писал М. Борн в статье „Состояние идей в физике и перспективы их дальнейшего развития“, – и именно это обстоятельство придает своего рода устойчивость ее принципам. Последние являются, так сказать, относительно априорными по отношению к данному периоду. Будучи знакомым со стилем своего времени, можно сделать некоторые осторожные предсказания»[18].
Во второй половине нашего столетия темп развития научных обобщений, меняющих не только содержание, но и стиль науки, настолько ускорился, что возникло представление об эволюции стиля. Это представление вошло в анализ и прошлого науки и привело к попыткам дать некоторое исторически инвариантное определение стиля, как того, что характеризует особенности творчества того или иного ученого, школы, особенности науки той или иной эпохи.
В средние века в пределах официальной, господствующей системы представлений стиль получал минимальное отображение в научном творчестве. Индивидуальные особенности мыслителя, особенности школы и времени не могли стать явными в науке, которая была канонической и которую стремились свести к повторению канонизированных текстов. В художественном творчестве стиль был явным. Существовало нечто общее, характеризующее индивидуальные особенности творчества и инвариантное при переходе от одного собора к другому, от одного сюжета картины или скульптуры к другому и далее– от одного жанра искусства к другому. В науке также существовали стилевые особенности, но они становились все менее явными при переходе к общей картине мира, неизменный характер которой охранялся традицией, а ее функция как раз и состояла в устранении индивидуальной, групповой окраски творчества, в вытеснении светских, временных, земных ценностей в пользу вечных ценностей «божьего града».
Возрождение явилось апофеозом индивидуального видения мира. Оно началось поэмой Данте, где структура и заселение потустороннего мира были продиктованы не традицией, а индивидуальными эмоциями и групповыми симпатиями и антипатиями флорентийского изгнанника. Оно привело к новой, гелиоцентрической системе, а затем и к творчеству Галилея.
Одним из наиболее характерных заявлений в «Диалоге» Галилея служит известная реплика Сальвиати о достоверности человеческого разума в познании частных истин, где он равен божественному разуму. Человеческий разум экстенсивно познает «как бы ничто», но интенсивно он познает бытие совершенно достоверно. В «Беседах», отвечая Симпличио, говорившему о невозможности разделения конечной линии на бесконечное число частей, Сальвиати предлагает согнуть прямую линию в кольцо и сразу получить многоугольник с бесконечным числом граней. Налицо научное мышление, оперирующее бесконечностью, реализованной в бесконечно малом.
Представление о бесконечности, реализованной в ее локальном элементе, примененное ко все большему числу объектов, становилось методом познания в форме дифференциального представления о движении, методов дифференциального и интегрального исчисления. Это представление воздействовало и на философию. Идея истинной бесконечности, реализуемой в ее конечных элементах, была обобщением научного представления о всеобщем законе, применимом к бесконечному числу объектов, и локальном эксперименте, подчиненном этому закону.
Ныне научное мышление уже оперирует не только бесконечностями, сосредоточенными в локальных ситуациях, как это делала, начиная с Галилея, наука XVII-XIX веков, но и локальными объектами, вплоть до пространственно-временных ячеек порядка 10^-15 см и 10^-25 сек. в качестве исходных пунктов макроскопических и космических (даже метагалактических) процессов. Эйнштейновские критерии внешнего оправдания и внутреннего совершенства существовали и в классической науке, но в неклассической они вообще оказываются неразделимыми. Когда развитие науки приводит к «пограничным конфликтам» на границе познанного и непознанного и теоретическая мысль ищет выхода из радикальных противоречий в металогическом переходе, в преобразовании логико-математических норм, новая концепция должна сразу же предстать в сознании как располагающая экспериментальными доказательствами, внешним оправданием. Такое интуитивное представление иногда называют озарением и тем самым проводят некоторую аналогию между научной мыслью и вдохновением художника.
Существенна концентрация целого, которого еще нет, в здесь-теперь, т. е. интегральное, а не дифференциальное представление о системе, вырастающей из новой идеи и ожидающей внешнего оправдания. Когда А. Эйнштейн в отличие от X. Лоренца пришел к идее пространственно-временного мира, где нет вневременных процессов, как к объяснению продольного сокращения масштабов, новая универсальная схема мира демонстрировала лишь возможное богатство своего внешнего оправдания, приведшего впоследствии к решающему наблюдению, исключившему другие объяснения. Интегральное озарение без предварительного представления о содержании и результатах эксперимента было компонентой науки уже тогда, когда И. Ньютон увидел падающее яблоко и в его сознании блеснула мысль о роли тяготения, а Р. Майер впервые подумал о сохранении энергии, наблюдая цвет крови у обитателей тропиков. Новая идея порождает массу прогнозов, конкретных картин и ассоциаций. В начале XX века подобные ансамбли прогнозов и ассоциаций сопровождались такими радикальными изменениями физических представлений, математических и логических идей, которые кавались парадоксальным нарушением норм. Во второй половине столетия парадоксальность сама стала нормой и даже больше – стилем научного мышления. Известная фраза Н. Бора о нелинейной концепции В. Гейзенберга: эта концепция недостаточно безумна, чтобы быть правильной, – характеризует не только выводы науки, но и подход, позицию мыслителя.
17
Frege G. Die Grundgesetze der Mathematik, begriffsschriftlich abgeleitet. Jena, 1893, B. II, S. 71, 107.
18
Вопросы причинности в квантовой механике, М., 1955, с. 102.