Страница 36 из 45
Интереснее всего физическая интерпретация очень спорной в математике АС. Она гласит, что мы можем выбрать любую точку в прошлом или будущем на стреле времени. Но мы не можем однозначно локализовать настоящее. Иначе говоря: в любом имеющемся множестве можно непротиворечиво выбрать любой элемент, но невозможно выбрать само ничто, ибо «ничто» и есть противоречие. Т.о. континуум-гипотеза Кантора, полностью основанная на этой аксиоме, ложна, как и предполагал Коэн. Мы вправе считать, что 1 проблема Гильберта решается в отрицательном смысле.
Закономерно, что простым логическим следствием АС является аксиома основания (foundation axiom), запрещающая существование бесконечных убывающих -цепей принадлежности в транзитивных множествах. Транзитивные множества представляются решетками, а решетки могут быть интерпретированы как причинные множества. Т.о. -цепи можно связать с рядами Тейлора и с сингулярными геодезическими в пространстве Минковского, т.е. с классом канонических накрытий континуума . Каждая такая цепь должна кончаться в сингулярности
Этот инфимум лежит в основании любой мысленной конструкции. Ее непротиворечивость порождает фильтр, делая явным инородность сингулярности. Вывод, который является обобщением теорем Геделя и Тарского, очевиден:
Следствие (о неполноте). Непротиворечивым ограничением причинных множеств является ультрафильтр.
Определим частичный порядок на ультрафильтре U как. Тогда U-решетка может быть интерпретирована как непротиворечивое причинное множество, где два любых события совместимы, так как у них есть, по крайней мере, одна общая причина в ретроспективном анализе: . Поскольку мы надеемся, что реальность дедуктивна и непротиворечива, то Вселенная, взятая формально (а как еще можно ее взять?), должна быть ультрафильтром U в дополнение к тому, что она является световым супергиперболоидом ∇ в пространстве Минковского. При этом и сам U не принадлежат U. Хотя дальнейшее и не следует из строгого формализма, мы вправе считать, что максимальная причинная физическая цепь начинается именно с , которое выступает как сингулярность. Непротиворечивость (локальность) обеспечивается неопределенностью, покрывающей эту световую точку.
В сущности, можно сказать, что для мозга вообще все мысленные совокупности дхарм являются «фильтрами» над пустой дхармой (ничто), т.е. все возможные множества разворачиваются из пустого множества. Именно поэтому никакая мысленная операция над множествами не приводит мозг к смерти, но дает ему по крайней мере ничто. В соответствующих интерпретациях это ничто выглядит как противоречие (ложь). В самом общем смысле спасением от противоречия оказывается новый ультрафильтр, теперь уже в корректном математическом смысле. Но за пределами ультрафильтра оказывается то, что необходимо множеству (теории), но не принадлежит ему. Отсюда вытекает и релятивизм с недостижимой скоростью света, и квантовая механика с принципом неопределенности, и ЭПР-парадокс с мгновенными корреляциями. Самосознание всегда находится внутри светового конуса, в своем локальном, причинном мире. Приближаясь к границам этого квантового, дискретного мира, оно получает принцип неопределенности, который естественным образом отделяет релятивистский мир от абсолютного покоя.
Градации бытия в др.-китайском трактате [37] – это градации неполноты разума: от фундаментальной неполноты самосознания по отношению к «истинной» реальности (эфиру) до искусственных ограничений самосознания по отношению к языку с целью получения той или иной логической непротиворечивой модели. Одним из таких ограничений разума и является машина Тьюринга-Поста. Мозг не может быть абсолютно пуст от дхарм, пока он жив. Поэтому он не способен видеть истинное небытие (эфир-Дао), подменяя его бытием небытия (мгновенным покоем – нулем). Как следствие, он видит пустоту и слышит тишину, которые оказываются для него экзистенциальными дхармами. «Проблема остановки» решается для него именно так: полное отсутствие информации – тоже информация. Но для примитивного дедуктивного интеллекта это невозможно. Тут можно сказать, что такая машина не способна видеть пустоту и слышать тишину. Она не способна самостоятельно перешагнуть точку разрыва. Машинизация самосознания не может дать ему самое главное, что отличает живой разум от искусственного интеллекта: бессознательное, то, что мы в просторечии называем интуицией, не задумываясь, откуда она берется.
Результат Геделя более всего замечателен тем, что вводит концепцию логической неполноты. Эта неполнота становится очевидной для любой формальной теории T(H) с аксиоматической базой Н, поскольку любая ее аксиома, являющаяся, несомненно, истинной для T(H), не может быть выведена в ней, а если выводима, то есть лишь следствие других аксиом, на которые и переносится вся тяжесть ответственности. Разумеется, тут нужно отказаться от банальной тавтологии вида : , ведь тогда любую теорию можно свести к уравнению 0 = 0.
Такая трактовка неполноты наиболее наглядна. Для строго дедуктивной теории все ее утверждения полностью описываются набором аксиом. Можно написать: . Допустим для простоты, что Н минимизирована в том смысле, что все аксиомы в ней независимы друг от друга, так что только на них ложится вся ответственность. Объединим все эти аксиомы конъюнкцией в одну формулу Н* (ее можно уподобить «великому объединению» в физике, целью которой является поиск единого аксиоматически определенного физического поля, описывающего все известные взаимодействия: эл.-магнитное, сильное, слабое и гравитационное). Формула Н* выразима в T(H). При этом она формально задает класс выводимых формул, т.е. определяет интуитивное понятие «истинности» для теории, но она не выводима в T(H) и, естественно, неопровержима при условии ее непротиворечивости. Т.о. полнота теории, выраженная в рамках двузначной логики как требование выводимости этой формулы или ее отрицания
(9.7)
не имеет места.
Неполнота дедуктивности очевидным образом возвращает нас к логическим и временным петлям, благодаря которым нечто (высказывание или событие) может быть причиной самого себя. В свою очередь запрет на временные петли интуитивно равносилен теоретико-множественному запрету для множеств быть элементами самих себя: . В противном случае автоматически возникает парадокс Рассела (парадокс лжеца). При этом причину парадокса можно видеть и в актуализации всех множеств, как это происходит в континуум-гипотезе Кантора при выведении несчетности из идеи полного порядка (причинности). Теперь мы знаем, что все это связано воедино неполнотой самосознания. Т.о. еще одним логическим следствием теоремы о сингулярности является теоретико-множественный запрет для элементов принадлежать себе, поскольку в этом случае возникают бесконечно убывающие цепи принадлежности, запрещенные упомянутой ранее аксиомой фундирования:
Такая «бездонность» нежелательна для математики, порождая то самое Канторовское множество нулевой меры, построенное на бесконечном дроблении интервала. Применительно к физике это могло бы значить, что невозможны элементарные частицы и связанные с ними фундаментальные константы – постоянная Планка, элементарный заряд, скорость света и т.д., поскольку они должны делиться до бесконечности. Такую «бездонность» можно было бы интерпретировать и в качестве запрета на Большой взрыв как на точку отсчета. А в смысле тождества дедуктивности и детерминизма, такая неполнота интуитивно равносильна запрету на временные петли в пространстве Минковского, лежащему в основании определения причинного множества, как это выражено нами в (2.3). Леммы 6 и 7 гласят, что мгновенный покой присутствует всюду, а условием сингулярности (2.2) обладает любая точка пространства-времени. Понимая сингулярность как пустую дхарму, причинность как дедуктивность, а физический мир как мыслимое (математическое) пространство ПС, сформулируем следующее: