Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости aij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (vx, vy , vz) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости aij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (S) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна e0Е2/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qExdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qExNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dPx. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

ExdPx.

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­кой должна быть работа в единице объема:

E·dP.

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E·dP. Обозначая ее через ир, можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­зить Р через E. В результате получим

Плотность энергии ир — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.

Тензор aijна самом деле нужно называть «тензором вто­рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии up — тензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.

Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Матема­тики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это Fmv .

Тензор поляризуемости aijобладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. axy=ayx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества ре­ального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:

1) включите электрическое поле в направления оси х;

2) включите поле в направлении оси у;

3) выключите x-поле;

4) выключите y-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, axy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для axzи т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сна­чала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Ех, мы могли бы определить aхх, а с одной компонентой Еyможно определить ayy . Включив обе компоненты Ехи Еy, мы из-за присутствия члена (aху+aух) получим добавочную энергию, ну а поскольку axy и ayx равны, то этот член превращается в 2axy и мо­жет быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Ехи Еyотвечают данной плотности энергии, скажем u0. Возникает чисто математическая задача решения уравне­ния

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ехи Еy , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).

Фиг. 31.2 Конец любого вектора E=(Ex, ev) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анер­гию поляризации.

(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Ехи Еyпредстав­ляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляри­зуемости.