Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Фиг. 20.2. Электрическое поле плоскости с током.

а — одна единица тока включена в мо­мент t=0; б—две единицы тока вклю­чены в момент t=t1; в — суперпозиция а и б.

Фиг. 20.3. Если сила источника тока меняется так, как на рисунке (а), то в момент t электрическое поле как функция от х приобретает дру­гой вид (б).

т. е. складывая решения трех разных задач. Сперва найдем поля постоянного тока единичной силы (эту задачу мы уже ре­шали). Потом узнаем поля от тока двойной силы. И, наконец, возьмем решение для полей токов с силой в минус три единицы. Сложив все три решения, мы получим ток силой в одну единицу от t=0 до какого-то более позднего момента, скажем, до t1, затем ток силой в три единицы до момента t2, а потом ток, рав­ный нулю, т. е. выключенный. График зависимости тока от времени показан на фиг. 20.3, а. Складывая три решения для электрического поля, мы видим, что его изменения с рас­стоянием х в данный момент t подобны изображенным на фиг. 20.3, б. Поле в точности отображает собой ток. Распре­деление поля в пространстве есть точное отражение изменений тока со временем, но только нарисованное задом наперед. По мере того как проходит время, вся картина перемещается наружу со скоростью с, так что получается ломтик полей, который движется к положительным х и хранит в себе всю историю перемен тока. Если бы мы находились где-то на расстоянии многих километров, мы могли бы лишь по измене­нию электрического или магнитного поля безошибочно расска­зать, как менялся ток в источнике.

Заметьте также, что даже после того, как вся деятельность в источнике прекратилась и все заряды исчезли, а токи сошли на нет, наш ломтик полей продолжает свое путешествие через пространство. Получается распределение электрических и маг­нитных полей, которое существует независимо от токов и за­рядов. Это и есть тот новый эффект, который следует из полной системы уравнений Максвелла. Мы можем, если нужно, пред­ставить только что проделанный анализ в строго математиче­ской форме, написав, что электрическое поле в данном месте и в данное время пропорционально току в источнике, но не в то же время, а в более ранний период [t-(x/с)]. Можно написать

Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это урав­нение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о теории показателя преломления. Тогда нам нужно было представить себе, какие поля создаст слой колеблющихся диполей в тонком плоском диэлектрике, если диполи приводятся в движение элек­трическим полем падающей электромагнитной волны. Задача наша состояла в расчете комбинированного поля начальной волны и волн, излучаемых колеблющимися диполями. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вывода) формулу для полей излуче­ния, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого то­чечного заряда. Если вы заглянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) — это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к большим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника.

Сейчас мы хотим взглянуть в общем виде на поведение элек­трических и магнитных полей в пустом пространстве вдалеке от источников, т. е. от токов и зарядов. Очень близко от них (так близко, что источники за время запаздывания передачи не успевают сильно измениться) поля очень похожи на те, которые получились у нас в электростатике или магнитостати­ке. Но если перейти к таким большим расстояниям, что запаз­дывание станет заметным, то природа полей может радикально отличаться от тех решений, которые мы нашли. Когда поля значительно удаляются ото всех источников, они начинают в некотором смысле приобретать свой собственный характер. Так что мы вправе приступить к обсуждению поведения полей в области, где нет ни токов, ни зарядов.

Предположим, что нас интересует род полей, которые могут существовать в областях, где и r и j равны нулю. В гл. 18 мы видели, что физику уравнений Максвелла можно также выразить на языке дифференциальных уравнений для скаляр­ного и векторного потенциалов:

(20.4)

(20.5)

Если r и j равны нулю, то эти уравнения упрощаются:

(20.6)

(20.7)

Стало быть, в пустом пространстве и скалярный потенциал j, и каждая компонента векторного потенциала А удовлетворяют одному и тому же математическому уравнению. Пусть буквой y (пси) мы обозначили любую из четырех величин j, Ах, Ау, Аг; тогда нам нужно изучить общие решения уравнения

(20.8)

Его называют трехмерным волновым уравнением — трехмер­ным потому, что функция y может в общем случае зависеть от х, у и z и следует учитывать изменения по каждой из этих координат. Это становится ясным, если мы выпишем явно три члена оператора Лапласа:

(20.9)

В пустом пространстве электрические и магнитные поля Е и В тоже удовлетворяют волновому уравнению. Так, поскольку B=СXА, дифференциальное уравнение для В можно получить, взяв ротор от уравнения (20.7). Раз лапласиан — это скаляр­ный оператор, то порядок операций вычисления лапласиана и ротора можно переставлять:

Точно так же можно переставлять и вычисление rot и d/dt:

Из этого мы получаем следующее дифференциальное уравнение

для В:

(20.10)

Тем самым выясняется, что компонента магнитного поля В удовлетворяет трехмерному волновому уравнению. Подобно этому, из того факта, что Е=-Сj-dAJdt, следует, что электрическое поле Е в пустом пространстве удовлетворяет трех­мерному волновому уравнению

(20.11)

Все наши электромагнитные поля подчиняются одному и тому же уравнению (20.8). Можно еще спросить: каково самое общее решение этого уравнения? Однако прежде, чем решать этот трудный вопрос, сначала посмотрим, что можно сказать в общем случае о тех решениях, в которых по у и по z ничего не меняется. (Всегда сначала беритесь за простые случаи, чтобы было видно, чего следует ожидать, а уж потом можете перехо­дить к случаям посложней.) Предположим, что величина полей зависит только от х, так что по у и по z поля не меняются. Мы, следовательно, опять рассматриваем плоские волны и должны ожидать, что получатся те же результаты, что и в пре­дыдущей главе. И мы действительно получим в точности те же самые ответы. Вы можете спросить: «Но зачем снова делать то же самое?» Это важно, во-первых, потому, что мы не доказа­ли, что найденные нами волны представляют собой самое общее решение для плоских волн, и, во-вторых, потому что наши поля произошли от источника тока особого вида. Сейчас мы хотели бы выяснить такой вопрос: каков самый общий вид одномер­ной волны в пустом пространстве? Мы не узнаем этого, если будем рассматривать тот или иной источник особого вида, нам нужна большая общность. Кроме того, на этот раз мы бу­дем работать не с интегральной формой уравнений, а с диффе­ренциальной. Хотя итог одинаков, это прекрасный случай поупражняться в выкладках и убедиться в том, что не имеет значения, каким путем идти. Вы должны уметь действовать любым путем, потому что, наткнувшись на трудную задачу, вы часто обнаруживаете, что годится лишь один из многих способов расчета.