Страница 29 из 43
Теперь я хочу потолковать о других принципах минимума в физике. Есть очень много интересных принципов такого рода. Я не буду их все перечислять, а назову еще только один. Позже, когда мы доберемся до одного физического явления, для которого существует превосходный принцип минимума, я расскажу вам о нем. А сейчас я хочу показать, что необязательно описывать электростатику при помощи дифференциального уравнения для поля; можно вместо этого потребовать, чтобы некоторый интеграл обладал максимумом или минимумом. Для начала возьмем случай, когда плотность зарядов известна повсюду, а нужно найти потенциал j в любой точке пространства. Вы уже знаете, что ответ должен быть такой:
Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл U*
это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выражение достигает минимума.
Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в качестве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем
здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:
Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид
изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл
Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно
Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегрируем по х по частям. Это приведет к добавочному дифференцированию j по х. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством
Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл U*
это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выражение достигает минимума.
Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в качестве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем
здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков:
Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид
изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняющиеся члены, получим интеграл
Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно
Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегрируем по xпо частям. Это приведет к добавочному дифференцированию j по x. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством
Проинтегрированный член равен нулю, так как мы считаем f равным нулю на бесконечности. (Это отвечает обращению h в нуль при t1и t2. Так что наш принцип более точно формулируется следующим образом: U* для правильного j меньше, чем для любого другого
j(х, у, z), обладающего теми же значениями на бесконечности.) Затем мы проделаем то же с у и с z. Наш интеграл DU* обратится в
Чтобы эта вариация была равна нулю при любом произвольном f, коэффициент при f должен быть равен нулю. Значит,
Мы вернулись к нашему старому уравнению. Значит, наше «минимальное» предложение верно. Его можно обобщить, если слегка изменить выкладки. Вернемся назад и проинтегрируем по частям, не расписывая все покомпонентно. Начнем с того, что напишем следующее равенство:
Продифференцировав левую часть, я могу показать, что она в точности равна правой. Это уравнение подходит для того, чтобы провести интегрирование но частям. В нашем интеграле DU* мы заменяем Сj·Сf на —fС2j+С·(fС j) и затем интегрируем это по объему. Член с дивергенцией после интегрирования по объему заменяется интегралом по поверхности:
А поскольку мы интегрируем по всему пространству, то поверхность в этом интеграле лежит на бесконечности. Значит, f=0, и мы получаем прежний результат.
Только теперь мы начинаем понимать, как решать задачи, в которых мы не знаем, где расположены все заряды. Пусть мы имеем проводники, на которых как-то распределены заряды. Если потенциалы на всех проводниках зафиксированы, то наш принцип минимума все еще разрешается применять. Интегрирование в U* мы проведем только по области, лежащей снаружи всех проводников. Но раз мы не можем на проводниках менять j, то на их поверхности f=0, и поверхностный интеграл