Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

(4.30)

на этой поверхности.

Теперь покажем, что две «торцевые» поверхности могут быть без ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены отно­сительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей

Фиг. 4.6. Поток Е из поверхности S равен нулю.

достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг. 4.6 показана поверхность S, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены. На рисунке они не малы, но надо пред­ставить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол q, то его площадь возрастает в 1/cosq раз, а Еn — компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в cosq раз, так что произведение ЕnDа не меняется. Поток из всей поверхности S по-прежнему равен нулю.

Теперь уже легко разглядеть, что и поток из объема, окру­женного произвольной поверхностью S, обязан быть равным ну­лю. Ведь любой объем можно представить себе составленным из таких частей, как на фиг. 4.6. Вся поверхность раз­делится на пары торцевых участков, а поскольку потоки через каждую из них внутрь и наружу объема попарно уничтожаются, то и суммарный поток через поверхность обратится в нуль. Идея эта иллюстрируется фиг. 4.7. Мы получаем совершенно общий результат: суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю.

Фиг. 4.7. Всякий объем можно представлять себе состоящим из бесконечно ма­лых усеченных конусов.

Поток E сквозь один конец каж­дого конического сегмента равен и противоположен потоку сквозь другой конец. Общий поток из поверхности S поэтому равен пулю.

Фиг. 4.8. Если заряд нахо­дится внутри поверхности, поток наружу не равен нулю.

Будьте, однако, внимательны! Наше доказательство рабо­тает только тогда, когда поверхность S не окружает заряд. А что случилось бы, если бы точечный заряд оказался внутри поверхности? Как и раньше, поверхность можно было бы разде­лить на пары площадок, связанные радиальными прямыми, про­ходящими через заряд (фиг. 4.8). Потоки через эти участки по той же причине, что и раньте, по-прежнему попарно равны, но только теперь их знаки одинаковы. Поток из поверхности, окружающей заряд, не равен нулю. Тогда чему же он равен? Это можно определить с помощью фокуса. Допустим, что мы «убрали» заряд «изнутри», окружив его маленькой поверхно­стью S' так, чтобы она лежала целиком внутри первоначальной поверхности 5 (фиг. 4.9). Теперь в объеме, заключенном между двумя поверхностями S и S', никакого заряда нет. Общий по­ток из этого объема (включая поток через S') равен нулю, в чем можно убедиться при помощи прежних аргументов. Они говорят нам, что поток через S' внутрь объема такой же, как поток через S наружу.

Для S' мы можем выбрать любую, какую угодно форму, поэтому давайте сделаем ее сферой с зарядом в центре (фиг. 4.10). Тогда поток через нее подсчитать легко. Если радиус малой сферы равен r, то значение Е повсюду на ее поверхности равно

и направлено всегда по нормали к поверхности. Весь поток

Фиг. 4.9. Поток через S равен потоку через S'.

Фиг. 4.10. Поток через сфериче­скую поверхность, охватывающую точечный заряд q, равен qle0.

через S' получится, если эту нормальную составляющую Е умножить на площадь поверхности:

Поток через поверхность

т. е. равен числу, не зависящему от радиуса сферы! Значит, и поток наружу через S тоже равен q/e0; это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри. Наши выводы мы можем записать так:

(4.32)

Давайте вернемся к нашей аналогии с «дробинками» и по­смотрим, есть ли в ней смысл. Наша теорема утверждает, что суммарный поток дробинок через поверхность равен нулю, если поверхность не окружает собой ружье, стреляющее дробью. А если ружье окружено поверхностью, то какого бы размера или формы она ни была, количество проходящих через нее дро­бинок всегда одно и то же — оно дается скоростью, с которой дробинки вылетают из ружья. Все это выглядит вполне разумно для сохраняющихся дробинок. Но сообщает ли эта модель нам хоть что-то сверх того, что получается просто из уравнения (4.32)? Никому не удалось добиться того, чтобы «дробинки» произвели на свет что-нибудь сверх этого закона. Кроме него, они порождают только ошибки. Поэтому-то мы сегодня предпо­читаем чисто абстрактное представление об электромагнитном поле.

§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля Е

Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был дока­зан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд ql—в одной точке и заряд (q2 — в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если e1—то электрическое поле, которое создал бы один только заряд q1 ,a E2 — электрическое поле, создаваемое одним зарядом q2, то суммарное электрическое поле равно Е=Е1 + Е2. Поток через произвольную замкнутую поверхность S равен

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный од­ним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если qlнахо­дится внутри S, a q2 — снаружи, то первый интеграл даст q1/e0, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q1+q2)/e0. Общее правило очевидно: суммарный поток из замк­нутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, де­ленному на e0.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса,

Закон Гаусса:

(4.34)

или

(4.35)

где

(4.36)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r3, да и любое поле 1/rn с n№2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, дей­ствующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они со­вершенно равноценны до того момента, пока силы между заря­дами действуют радиально.