Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

Применяя теорему Стокса, можно заключить, что

по любой поверхности. Но раз интеграл по любой поверхности равен нулю, то подынтегральное выражение обязано быть равно нулю. Значит,

Тот же результат был доказан в гл. 2, § 7 при помощи векторной алгебры.

Рассмотрим теперь частный случай, когда на маленький контур Г натягивается большая поверхность S (фиг. 3.13). Мы хотим посмотреть, что случится, когда контур стянется в точку. Тогда граница поверхности исчезнет, а сама поверхность превратится в замкнутую. Если вектор С повсюду конечен, то криволинейный интеграл по Г должен стремиться к нулю по мере стягивания контура (интеграл в общем-то пропорционален длине контура Г, а она убывает). Согласно теореме Стокса, поверхност­ный интеграл от (СXС)n тоже должен убывать до нуля. Когда поверхность замыкается, то при этом каким-то образом в ин­теграл привносится вклад, который взаимно уничтожается с накопленным

ранее. Получается новая теорема:

Это нас должно заинтересовать, потому что у нас уже есть одна теорема о поверхностном интеграле векторного поля. Та­кой поверхностный интеграл равен объемному интегралу от дивергенции вектора, как это следует из теоремы Гаусса [уравнение (3.18)]. Теорема Гаусса в применении к СXС утверждает, что

(3.40)

Мы заключаем, что интеграл в правой части должен обращать­ся в нуль и что это должно быть справедливо для любого векторного по­ля С, каким бы оно ни было.

(3.41)

Раз уравнение (3.41) выполнено для произвольного объема, то в каждой точке пространства подын­тегральное выражение должно быть равно нулю. Получается, что

Тот же результат был выведен с помощью векторной алгебры в гл. 2, § 7. Теперь мы начинаем понимать, как все здесь прила­жено одно к другому.

§ 8. Итоги

Подытожим теперь все, что мы узнали о векторном исчисле­нии. Вот самые существенные моменты гл. 2 и 3.

1. Операторы д/дх, д/ду и д/dz можно рассматривать как три составляющих векторного оператора С; формулы, сле­дующие из векторной алгебры, остаются правильными, если этот оператор считать вектором

2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криволинейному интегралу от касательной составляющей гра­диента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей пер­вую точку со второй:

(3.42)

Поверхностный интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности равен интег­ралу от дивергенции вектора по объему, лежащему внутри этой поверхности:

(3.43)

4. Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверх­ностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по произвольной поверхности, ограниченной этим кон­туром

(3.44)

От редактора. Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите вни­мание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.

Более привычно вместо e0 писать e0/4p; тогда коэффициент 4p исче­зает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]

Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоян­ную m0=e0/c2, называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемос­тью пустоты (так же, как e0 называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают e0E=D, B=m0H.

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!

*Конечно, последующие выкладки в равной мере относятся и к лю­бому прямоугольному параллелепипеду.

Глава 4

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§1. Статика

§2.Закон Кулона; наложение сил

§З. Электрический потенциал

§4. E=-▽φ

§5.Поток поля Е

§6.Закон Гаусса; дивергенция поля Е

§7 .Поле заряженного шара

§8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Повторишь: гл.13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Статика

Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромаг­нетизм целиком) запрятана в уравнениях Мак­свелла:

Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде чем перейти к более сложным, мы начнем со сравни­тельно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим. Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е. r и j постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид:

Магнитостатика

Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части. Электрическое поле Е появляется только в первой паре уравнений, а магнит­ное поле В — только во второй. Между собой эти два поля совсем не связаны. Это означает, что коль скоро заряды и токи постоян­ны, то электричество и магнетизм — явления разные. Нельзя обнаружить никакой зависимости полей Е и В друг от друга, пока не возникают изменения в зарядах или токах, скажем, пока конденсатор не начнет заряжаться или магнит двигаться. Только когда возникают сравнительно быстрые изменения, так что временные производные в уравнениях Максвелла достигают заметной величины, Е и В начинают влиять друг на друга.

Если вы всмотритесь в уравнения статики, то обнаружите, что для изучения математических свойств векторных полей эти два предмета — электростатика и магнитостатика — являются идеальным объектом. Электростатика — это чистый пример век­торного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией, а магнитостатика — чистейший пример поля с нулевой диверген­цией и заданным ротором. Более общепринятый (и, быть может, с чьей-то точки зрения более удовлетворительный) путь изло­жения теории электромагнетизма состоит в том, чтобы начать с электростатики и выучить тем самым все про дивергенцию. Магнитостатику и ротор оставляют на потом. И лишь в кон­це объединяют и электричество, и магнетизм. Мы же с вами начали с полной теории векторного исчисления. Применим те­перь ее к частному случаю электростатики, к полю Е, задавае­мому первой парой уравнений.