Страница 3 из 23
Законы:
1 Переместительный: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.
2 Cочетательный: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z); X · Y · Z = (X · Y) · Z = X· (Y· Z).
3 Идемпотентности: X ∨ X = X; X · X = X.
4 Распределительный: (X ∨ Y)· Z = X· Z ∨ Y· Z.
5 Двойное отрицание: .
6 Закон двойственности (Правило де Моргана):
Для преобразования структурных формул применяется ряд тождеств:
X ∨ X · Y = X; X(X ∨ Y) = X — Правила поглощения.
X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Правила склеивания.
1 Отрицание — логическое действие первой ступени.
2 Конъюнкция — логическое действие второй ступени.
3 Дизъюнкция — логическое действие третьей ступени.
Если в логическом выражении встречаются действия различных ступеней, то сначала выполняются первой ступени, затем второй и только после этого третьей ступени. Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками.
2 Основы синтеза цифровых устройств
2.1 Последовательность операций при синтезе цифровых устройств комбинационного типа
1 Составление таблицы истинности комбинационного цифрового устройства (КЦУ) согласно его определения, назначения, словесного описания принципа работы.
2 Составление логической формулы согласно таблицы истинности.
3 Анализ полученной формулы с целью построения различных вариантов и нахождения наилучшего из них по тем или иным критериям.
4 Составление функциональной схемы КЦУ из элементов И, ИЛИ, НЕ.
2.2 Аналитическая запись логической формулы КЦУ
Запись в форме СДНФ (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма).
В СДНФ логическая формула представляет собой логическую сумму нескольких логических произведений, в каждое из которых входят все независимые переменные с отрицанием или без него.
Формула получается в два этапа:
а) Записывается логическая сумма произведений, в каждое из которых входят все независимые переменные. Количество слагаемых равно числу наборов таблицы истинности, на которых логическая функция равна «1»;
б) ставится знак инверсии над теми независимыми переменными, которые равны «0» в рассматриваемом наборе.
Запись в форме СКНФ (Совершенная конъюнктивная нормальная форма).
В СКНФ формула представляет собой логическое произведение нескольких логических сумм, в каждую из которых все независимые переменные с отрицанием или без него.
Как и в предыдущем случае, формула получается в два этапа:
а) Записывается логическое произведение всех сомножителей; количество сомножителей равно числу наборов таблицы истинности, на которых логическая функция равна «0»;
б) ставится знак инверсии над теми независимыми переменными, которые равны «1» в рассматриваемом наборе.
Структурные формулы в виде СДНФ и СКНФ эквивалентны и, с помощью законов алгебры, логики могут быть преобразованы одна в другую.
Пример: Синтезировать мажоритарный логический элемент на три входа.
Мажоритарным называется логический элемент, выходное состояние которого совпадает с большинством входных сигналов.
На основании данного словесного описания мажоритарного элемента составлена его таблица истинности (Таблица 5).
Таблица 5 - Таблица истинности мажоритарного элемента