Страница 3 из 29
Круги встречаются повсеместно, как в естественных, так и в искусственных мирах, и, следовательно, это, пожалуй, простейшая из геометрических фигур, и ее легче всего описать. Подумав о круге, мы сразу вспоминаем множество круглых объектов, так что нам совсем нетрудно представить себе эту форму. Например, если взять колесо велосипеда, очевидно, что все спицы имеют одинаковую длину, иначе было бы невозможно на нем ездить. Все спицы одинаковой длины, потому что все точки на ободе находятся на одном и том же расстоянии от центра. Теперь сформулируем точное определение окружности на плоскости.
Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки на заданное расстояние, называется окружностью.
Данная фиксированная точка называется центром окружности, а заданное расстояние — радиусом окружности.
Таким образом, если мы выберем точку Р на окружности (с центром в точке А и радиусом r), то d(P, А) = r. Например, если центр находится в точке (2, -1), а радиус равен 3, то все точки Р, удовлетворяющие нашему соотношению для А и r, образуют окружность.
На приведенном выше рисунке для изображения точек окружности использовалась формула евклидова расстояния, но если применять формулу расстояния такси, то получится совсем другой, очень странный результат, как можно видеть на следующем рисунке.
Мы можем проверить, что точки Р на этой «окружности» такси действительно удовлетворяют соотношению dT = (Р, А) = r при А = (2, -1) и r = 3. В геометрии такси возможно то, что всегда казалось абсурдным: мы можем круг превратить в квадрат!
Если вычислить длину окружности нашего такси-круга по классической формуле l = 2·π·r, то мы получим l = 2 ·π· 3 = 18,849. Однако по формуле расстояний такси длина окружности составит 6 + 6 + 6 + 6 = 24 единицы, и, кроме того, результат совсем не будет содержать π.
Многие другие формы, известные из геометрии Евклида, выглядят странно в геометрии такси. Например, эллипс представляет собой множество точек, расположенных вокруг двух фиксированных точек, называемых фокусами. Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна. Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.
В следующем примере фокусами являются точки А = (—3, 0) и В = (3, 0), а большая ось эллипса (наибольший диаметр) составляет 10 единиц. Следовательно, эллипс состоит из всех точек Р, удовлетворяющих условию d(P, А) + d(P, В) = 10:
Если евклидово расстояние заменить расстоянием такси, то множество точек Р, удовлетворяющих условию d(P, А) + d(P, В) = 10, будет выглядеть весьма странно:
Эти примеры показывают, что формы геометрических фигур не являются универсальными, вечными и неизменными. Любая форма относительна, каким бы странным этот факт ни казался. Формы зависят от метрики — так называется тип используемого «расстояния». Другими словами, они зависят от подхода к данной задаче.
Тем не менее, расстояние такси вовсе не является курьезом. Оно имеет множество применений в городском планировании. Например, оно играет важную роль при планировании эффективной дорожной сети и удобного расположения государственных учреждений (больниц, школ, туристических достопримечательностей и т. д.).
Давайте представим, что в некотором городе приняли решение соединить между собой два городских округа. Эти районы называются А и В, а улицы в них образуют прямоугольные кварталы, как в реальном Эшампле в Барселоне. Для соединения двух округов было решено построить дорогу таким образом, чтобы выполнялось одно сложное условие: в любой точке этой дороги автомобиль должен находиться на одинаковом расстоянии от точек А и В. Как можно спроектировать такую дорогу?
В математических терминах этот вопрос можно сформулировать следующим образом: какие точки на плоскости равноудалены от точек А и В?
Как всегда, в евклидовой геометрии имеется простое решение. Если на плоскости XY точка А имеет координаты (0, 0), а точка В — (4, 2), то можно провести линию, перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Эта линия и будет состоять из точек Р, удовлетворяющих условию:
d(P, A) = d(P, B).
Но этот подход не работает в геометрии такси. Обратите внимание, что евклидово решение потребует снести большое количество зданий, чтобы построить такой идеальный маршрут.
Решение должно быть найдено в терминах геометрии такси. Нужно найти линию, все точки Р которой удовлетворяют условию dT(P, А) = dT(P, В). Тогда расстояние от любой точки этой линии до точки А будет равно расстоянию до точки В. Кроме того, это решение позволяет свести к минимуму количество сносимых зданий.
Глава 2
Евклидова геометрия
В живописи точка является наиболее важным элементом.
Василий Кандинский
Геометрия первоначально была наукой об измерениях. Греческие геометры умели измерять отрезки линий (как прямых, так и кривых), площадь поверхности, ограниченной линиями, и объемы фигур, ограниченных поверхностями. Однако глагол «измерять» вскоре принял более широкий смысл: «устанавливать отношения между геометрическими объектами». Появились геометрические формулировки, которые используются и сегодня: «прямая линия r параллельна прямой q», «отрезок АС в три раза длиннее отрезка АВ», «отношение периметра окружности к ее диаметру
есть число, которое не может быть выражено в виде дроби».
Для установления истинности таких отношений геометры древности разработали и довели до совершенства особую систему доказательств, которая стала основным методом математики. Система греческих геометров состояла в выводе важнейших результатов (теорем) из набора основополагающих аксиом с помощью «длинных цепочек рассуждений», как называл доказательства Декарт в своем трактате «Рассуждение о методе». Этот практически творческий подход является характерной чертой евклидовой геометрии.
Как и в случае со многими другими выдающимися деятелями далекого прошлого, сведения о Евклиде крайне скудны. Ни дата, ни город его рождения точно не известны. Все имеющиеся сведения содержатся в толкованиях древних документов, упоминающих геометрию. Оттуда известно, что он жил до Архимеда, ок. 325–265 гг. до н. э., и был почти современником Птолемея (367–283 гг. до н. э.). Стиль его рассуждений указывает на то, что он учился в Афинах с другими учениками Платона. Достоверно известно, что Евклид жил в Александрии, где преподавал математику на протяжении более чем 20 лет. Именно там он основал знаменитую школу, с которой и связан расцвет его научной деятельности.