Страница 19 из 32
Обозначив радиусы окружностей через R и r, искомое расстояние — через d и применив теорему Пифагора, имеем:
(R — r)2 + d2 = (R + r)2 => d = √(R·r)
Интерес вызывает не задача сама по себе, а ее связь с пифагоровыми тройками.
Тройка целых чисел называется пифагоровой, если эти числа удовлетворяют теореме Пифагора, то есть квадрат одного из них равен сумме квадратов двух других. К примеру, пифагоровыми являются тройки (3, 4, 3), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и (119, 120, 169). Пифагорова тройка называется примитивной, если два меньших числа в ней взаимно простые. Примитивными являются тройки (3, 4, 3), (5, 12, 13) и (119, 120, 169), но не (6, 8, 10), так как 6 и 8 — четные числа.
В еще одной задаче из книги Садасуке требуется доказать, что тройка чисел (а, b, с) пифагорова, если p и q одновременно не являются нечетными и удовлетворяют следующим соотношениям:
а = 2pq
b = p2 — q2
c = p2 + q2.
Значение а очень похоже на ответ к предыдущей геометрической задаче. Чтобы значение а было ответом к предыдущей задаче, необходимо, чтобы квадратные корни радиусов R и r были целыми числами. Допустим, что это в самом деле так: R = р2, r = q2. Предположим, что разность R — r равна другому целому числу, s.
Тогда следующая тройка чисел будет примитивной пифагоровой тройкой:
2pq = d
р2 — q2 = R — r
p2 + q2 = R + r.
Таким образом, алгебраическая задача о пифагоровых тройках эквивалентна геометрической. По всей видимости, таков традиционный японский метод определения примитивных пифагоровых троек. Наконец, еще в одной задаче требуется найти все примитивные пифагоровы тройки для радиуса r <= 41. Решения этой задачи таковы:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (20, 21, 29), (9, 40, 41).
Если мы построим между двумя описанными выше окружностями еще одну, то получим интересную задачу — она приводится в сайгаку 1873 года, подвешенной на алтаре Катаямахико в префектуре Окаяма. Каким отношением связаны радиусы трех окружностей, касающихся друг друга и прямой, на которую они опираются?
И вновь к решению нас приведет теорема Пифагора. Пусть радиусы окружностей удовлетворяют соотношению r1 > r2 > r3 которое мы узнаем, применив теорему Пифагора. Для этого выделим треугольник, образованный вершинами окружностей и радиусами, которые проведены к общей касательной к окружностям.
Мы получим новые прямоугольные треугольники, в которых можно применить теорему Пифагора. Обозначив через d1 и d2 основания прямоугольных треугольников с гипотенузами r1 + r3 и r2 + r3 получим:
(r1+ r2)2 = (r1 — r2)2 + (d1 + d2)2
(r1+ r3)2 = (r1 — r3)2 + d12
(r2 + r3)2 = d22 + (r2 — r3)2
Выразив d1 и d2 из второго и третьего равенства и подставив полученные выражения в первое равенство, имеем:
Полученное соотношение является двойственным к теореме Пифагора, что можно заметить, записав квадратные корни как степени с дробным показателем:
Как найти значения трех радиусов, удовлетворяющих этому соотношению?
Имеет ли задача тройки целых или рациональных решений? Если мы рассмотрим числа, обратные квадратам натуральных чисел, то получим окружности, обладающие следующими свойствами:
Они будут иметь вид, представленный на рисунке.
Соприкасающиеся окружности стали источником вдохновения не только для средневековых японских монахов и самураев, но и для архитекторов европейских готических соборов. Эта композиция, в которой главная роль отведена кругу, представляет собой символ христианства той эпохи. Важнейший элемент художественной выразительности в готике — роза и различные решетки. Их узоры представляют собой огромный круг диаметром несколько метров, в который вписаны другие круги и ряды окружностей. В большинстве случаев все эти фигуры соприкасаются между собой, а также касаются большого круга. Роза в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне составлена из кругов, куда вписаны четыре соприкасающихся круга, которые также касаются круга, описанного вокруг них.
Фрагмент розы в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне.
Все элементы этих геометрических роз имеют свое символическое значение. Оригинальные рисунки и витражи соборов на протяжении веков не раз реставрировались, и лучше всего дух оригинала удалось сохранить в Шартрском соборе и соборе Парижской Богоматери. Женское начало традиционно связывается с ночью, Луной, прошлым и оттенками синего цвета. В Шартрском соборе женское начало представлено в розе на северном фасаде, в центре которой изображена дева Мария. Мужское начало, напротив, связывается с южной стороной, Солнцем, настоящим, желтым и красным оттенками. Именно поэтому изображение Христа в Царствии Небесном расположено в центре розы на южном фасаде собора.
Геометрия также составляет основу символических изображений персонажей.
Подобие форм или пропорции указывают на связи между деталями изображений, в которых каждый элемент играет свою роль. Не случайно и то, что розы делятся на 6, 8, 12, 16 или 24 круговых сектора или же представляют собой последовательность концентрических окружностей.
В испанском городе Сабадель в провинции Барселона есть мастерская, которая занимается исключительно витражами в свинце. Сначала мастера выполняют рисунок на бумаге в масштабе 1:10, а затем изготавливают витраж в натуральную величину. Раньше переход от чертежей к витражам выполнялся на глаз и при помощи пантографа, но сегодня в этом процессе используются новые технологии. Проектор позволяет воспроизвести выполненные на бумаге непрозрачные фигуры в натуральную величину на другой плоской поверхности.
Чтобы придать витражам желаемую форму, между соседними стеклами нужно оставлять зазор в 1,2 мм. Вместо того чтобы проводить линию с нужным зазором параллельно контурам фигуры, мастера используют ножницы с тройным лезвием, и необходимый зазор получается автоматически.