Против богов: Укрощение риска

До встречи с Паскалем шевалье неоднократно обсуждал со многими французскими математиками задачу об очках — как два игрока в balla должны разделить банк в случае прекращения неоконченной игры, однако никто не смог дать ему вразумительный ответ.

Хотя эта задача заинтересовала Паскаля, он не захотел решать ее самостоятельно. В наши дни такая проблема стала бы темой обсуждения для группы специалистов на ежегодном семинаре одного из научных обществ. Во времена Паскаля такой форум был невозможен. В лучшем случае небольшая компания ученых могла обсудить проблему в интимной обстановке гостиной аббата Мерсенна, но обычно в таких ситуациях прибегали к личной переписке с другими математиками, которые могли подсказать что-либо полезное для решения задачи. В 1654 году Паскаль обратился к Пьеру де Каркави, члену кружка аббата Мерсенна, который свел его с тулузским адвокатом Пьером де Ферма.

Вряд ли Паскаль мог найти лучшего партнера для решения этой задачи. Ферма был феноменально образованным человеком[10]. Он говорил на всех основных европейских языках, на некоторых из них даже писал стихи и составлял обширные комментарии к греческим и римским авторам. Кроме того, он обладал редкостным талантом математика. Независимо от Декарта он изобрел аналитическую геометрию, внес большой вклад в раннее развитие численных методов, проводил исследования, направленные на определение веса Земли, изучал оптические явления, в частности рефракцию световых волн. В ходе оказавшейся весьма продолжительной переписки с Паскалем он внес значительный вклад в теорию вероятностей.

Но коронные достижения Ферма относятся к теории чисел — анализу структурных соотношений каждого числа с остальными. Эти соотношения порождают бесчисленные головоломки, некоторые из которых не нашли решения и по сей день. Греки, например, обнаружили то, что они назвали совершенными числами, — это числа, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением их самих, подобные 6 = 1 + 2 + 3. Следующее после 6 совершенное число 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Третье такое число — это 496, следующее — 8 128. Пятое совершенное число — 33 550 336.

Пифагор открыл то, что он называл дружественными числами или «вторыми я» чисел, представляющие собой суммы всех делителей, отличных от самого числа. Все делители числа 284, то есть 1, 2, 4, 71 и 142, в сумме дают 220; все делители числа 220, то есть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, в сумме дают 284.

Никому не удалось установить правила для нахождения всех существующих совершенных чисел или всех дружественных чисел, как никто не сумел вывести формулы рядов, в которых они следуют друг за другом. С аналогичными трудностями мы сталкиваемся при рассмотрении простых чисел, подобных 1, 3 или 29, каждое из которых делится только на 1 и на самого себя. С одной стороны, Ферма считал, что он получил формулу вычисления простых чисел, но, с другой стороны, он предупреждал, что не смог теоретически доказать ее всеобщность. Формула, которую ему удалось найти, выдает 5, затем 17, затем 257 и, наконец, 65 537 — всё простые числа, а следующим числом, получаемым на основе его формулы, оказывается 4 294 967 297.

По-видимому, наибольшую славу Ферма принесло нацарапанное на полях «Арифметики» Диофанта утверждение, известное как великая теорема Ферма. Несмотря на трудность его доказательства, суть этого утверждения изложить несложно.

Греческий математик Пифагор впервые показал, что квадрат наибольшей стороны прямоугольного треугольника, гипотенузы, равен сумме квадратов двух других его сторон. Диофант, один из древнейших исследователей квадратных уравнений, написал сходное выражение: х4 + y4 + z4 = и2. «Почему, — спрашивает Ферма, — Диофант не искал две [вместо трех] четвертых степени, дающих в сумме квадрат некоего числа? Дело в том, что это невозможно, и мой метод дает возможность доказать это со всей строгостью»[11]. Ферма заметил, что Пифагор был прав, написав а2 + Ь2 = с2, но а3 + Ь3 не будут равны с3 и ни для одного показателя степени, большего чем 2, такое равенство не будет выполняться: теорема Пифагора верна только для квадратов.

И затем Ферма написал на полях книги:

«У меня есть прекрасное доказательство этого утверждения, но здесь негде его записать»[12].

Этой короткой фразой он ошарашил математиков, которые вот уже 350 лет пытаются найти теоретическое доказательство утверждения, получившего многочисленные эмпирические подтверждения. В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс (Wiles) заявил, что он решил эту головоломную задачу после семи лет работы в Принстоне. Его результаты были опубликованы в «A

Великая теорема Ферма представляет собой скорее курьез, чем постижение окружающего мира. А вот решение, которое Ферма и Паскаль разработали для задачи о разделе банка в незавершенной игре, до сих пор приносит пользу обществу в качестве краеугольного камня современной системы страхования и других форм управления риском.

Решение задачи об очках основывается на том, что игрок, опережающий противника в момент остановки игры, имеет больше шансов на победу, если игра продолжится. Но насколько больше? Насколько малы шансы отстающего игрока? Как, в конце концов, перекинуть мост от этой задачи к науке прогнозирования?

Переписка Паскаля и Ферма, которую они вели по этому поводу в 1654 году, обозначила эпохальное событие в истории математики и теории вероятностей {1}. Удовлетворяя любопытство, проявленное к этой старой проблеме шевалье де Мере, они создали систематический метод анализа ожидаемых исходов. Поскольку может произойти больше вещей, чем происходит на самом деле, Паскаль и Ферма предложили процедуру определения вероятности каждого из возможных результатов при допущении, что исходы могут быть оценены математически.

Они подошли к проблеме с разных позиций. Ферма обратился к чистой алгебре. Паскаль оказался более изобретательным: он использовал геометрическую форму для представления алгебраических структур. Его методология проста и приложима к широкому спектру проблем теории вероятностей.

Основная математическая идея, стоящая за этим геометрическим представлением алгебраических соотношений, зародилась задолго до Паскаля и Ферма. Омар Хайям обсуждал ее примерно на 450 лет раньше. В 1303 году китайский математик Ху Шайчи, явно не претендуя на оригинальность, подошел к проблеме с помощью способа представления, который он называл «правдивое зеркало четырех элементов». Кардано тоже знал об этом методе[13].

Правдивое зеркало Ху приобрело известность как треугольник Паскаля. «Пусть кто-нибудь попробует утверждать, что я не сказал ничего нового, — с гордостью пишет Паскаль в автобиографии. — Новшеством является трактовка предмета. Когда мы играем в теннис, мяч у нас общий, но один из нас играет лучше»[14].