Страница 11 из 19
Замечательные новшества Диофанта, кажется, были проигнорированы последующими поколениями. Прошло полторы тысячи лет, пока его работы были замечены и должным образом оценены: его трактат сыграл центральную роль в расцвете алгебры в XVII веке. Всем известные сегодня линейные алгебраические уравнения вида а + bх = с носят его имя.
Главным изобретением индо-арабской системы счисления явилось понятие ноля — sunya, как его называли индусы, или cifr по-арабски[9]. Слово дошло до нас как cipher, что означает 'пусто' и относится к пустой линейке на счетах. {3}
Людям, использующим ряды камешков для подсчета убитых животных, прошедших дней или пройденного пути, освоить понятие ноля было крайне трудно. Для таких подсчетов ноль не нужен. Как отмечает английский философ XX века Альфред Норт Уайтхед (Whitehead):
«Относительно ноля следует заметить, что в повседневной жизни мы этим понятием не пользуемся. Никому не придет в голову купить ноль рыбы. В известном смысле ноль — это самое деликатное из всех числительных, и потребность в нем возникает у нас только на более высоком уровне мышления.[10]»
Слова Уайтхеда о «более высоком уровне мышления» указывают на то, что понятие ноля расчистило путь чему-то более значительному, чем совершенствование способов счета и вычислений. Уже Диофант осознал, что совершенная система счисления должна обеспечить возможность использования математики в развитии и абстрактных наук, и техники измерений. Ноль раздвинул границы познания и прогресса.
Заслуживают внимания два аспекта развития системы счисления, обусловленных появлением ноля. Во-первых, люди смогли обходиться только десятью символами от 0 до 9 для записи с их помощью любых чисел и выполнения всевозможных вычислений. Во-вторых, последовательность чисел типа 1, 10, 100 показывает, что следующим числом в последовательности является 1000. Ноль, прояснив систему счисления, довел ее до полной прозрачности. Возьмите римские числа I, X и С или V, L и D и попробуйте сказать, каким должно быть следующее число в этой последовательности!
Первая известная нам арабская книга по арифметике была написана ал-Хорезми — математиком, жившим около 825 года, примерно за четыреста лет до Фибоначчи[11]. Хотя те немногие, кто использовал его работу, вероятно, кое-что слышали о нем, большинству из нас он известен косвенно. Попробуйте быстро произнести «ал-Хорезми». Вы услышите слово «алгоритм», что значит «правило вычислений»[12]. Именно ал-Хорезми был первым математиком, установившим правила сложения, вычитания, умножения и деления с новыми индийскими цифрами. В другом своем трактате «Hisab al-jabr w'almuqabalah», или «Книге о восстановлении и противопоставлении», он описывает процесс решения алгебраических уравнений. От слова al-jabr произошло слово алгебра, или наука об уравнениях[13].
Одним из самых значительных и, уж конечно, самым знаменитым арабским математиком древности был Омар Хайям, живший приблизительно с 1050-го по 1130 год и известный как автор собрания стихов под названием «Рубайят»[14]. {*1}. Его знаменитый сборник из 75 четверостиший [слово рубайят определяет поэтическую форму] во времена королевы Виктории был переведен на английский поэтом Эдвардом Фитцджералдом. В этой тоненькой книжице больше воспеваются вино и мимолетность человеческого существования, чем наука и математика. Например, под номером 27 читаем:
Как сообщает Фитцджералд, в юности у Омара Хайяма было двое друзей, столь же блистательных, как и он сам: Низам ал-Мунк и Хасан ал-Сабах. Однажды Хасан предложил своим друзьям поклясться, что, если кому-нибудь из троих суждено достичь богатства и могущества, «тот, кому выпадет удача, не станет стремиться к преимуществу перед двумя другими и поделит ее на троих». Они дали клятву, а через какое-то время Низам стал визирем султана. Друзья разыскали его и напомнили про клятву, которую он выполнил, как обещал.
Хасан потребовал и получил место в правительстве, но, неудовлетворенный своим положением, оставил его, чтобы стать потом главой секты фанатиков, терроризировавшей весь мусульманский мир. Много лет спустя он организовал предательское убийство своего друга Низама.
Омар Хайям не просил ни чинов, ни титулов. «Величайшая милость, которую ты можешь оказать мне, — сказал он Низаму, — это позволить мне жить незаметно под сенью твоей славы, углубляясь в науку и молясь о ниспослании тебе Аллахом долгих лет жизни и преуспеяния». Хотя султан любил Омара Хайяма и был благосклонен к нему, «смелое эпикурейство мыслей и высказываний Омара вызывали в его время косые взгляды соотечественников».
Омар Хайям использовал новую систему счисления для совершенствования созданного усилиями ал-Хорезми языка вычислений, послужившего основой нового, более сложного языка алгебры. Кроме того, он использовал математические методы обработки астрономических наблюдений для реформирования календаря и построения числового треугольника, облегчающего вычисление квадратов, кубов и высших степеней; этот треугольник позднее был использован в XVII веке французским математиком Блезом Паскалем, одним из создателей теории выбора, оценки шансов и вероятностей.
Впечатляющие достижения арабов лишний раз показывают, как далеко может зайти и все же застрять на пороге логического завершения фундаментальная идея. Почему арабы со своими выдающимися математическими достижениями не смогли приблизиться к созданию теории вероятностей и управления риском? Я полагаю, это обусловлено их образом жизни. Кто определяет наше будущее: судьба, боги или мы сами? Идея управления риском всплывет только тогда, когда люди поверят, что они обладают некоторой степенью свободы. Подобно грекам и ранним христианам, склонные к фатализму мусульмане еще не были готовы к этому прыжку.
Около 1000 года новая система счисления преподавалась в мавританских университетах в Испании и еще кое-где, а также сарацинами на Сицилии. Сицилийская монета норманнской чеканки, датированная «1134 A
Несмотря на покровительство, оказанное книге Фибоначчи императором Фридрихом, и широкую известность, которую она получила в Европе, введение индо-арабской системы счисления вызывало сильное и ожесточенное неприятие до начала XVI века. И это можно понять.
Многовековая история учит, что всегда находятся силы, которые встречают в штыки любое изменение; новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Но была и другая причина, куда более серьезная: с новыми числами плутовать было легче, чем со старыми. Превращение 0 в 6 или 9 казалось заманчиво легким, а 1 могла без труда превратиться в 4, 6, 7, 9 (одна из причин, почему европейцы пишут 7 как 7). Даже после того, как новые числа уже утвердились в Италии, где образование было на высоком уровне, в 1229 году во Флоренции был издан эдикт, запрещающий банкирам использование «языческих» символов. В результате многие желающие изучить новую систему были вынуждены выдавать себя за мусульман[15].