Страница 26 из 82
Связь результатов для частицы в ящике с реальными системами
Частица в ящике — это очень простая иллюстрация общего свойства абсолютно малых систем. Энергия таких систем не обязательно непрерывна. Частица в ящике не является физически реализуемой системой, поскольку она одномерна и окружена «идеальными» стенками. Однако атомы и молекулы — реальные системы. Энергетические уровни атомов и молекул исследовались очень подробно, а их квантованные энергетические уровни измерялись экспериментально и рассчитывались теоретически. Подобно тому как энергетические уровни частицы в ящике зависят от свойств системы (массы частицы и длины ящика), энергетические уровни в атомах и молекулах зависят от свойств этих атомов и молекул.
Молекулы поглощают свет определенных цветов
Хотя частица в ящике не является физически реализуемой системой, свойства, обнаруженные в этой задаче, также присущи атомам и молекулам. При фотоэлектрическом эффекте энергия падающих фотонов столь велика, что из куска металла выбиваются электроны (см. главу 4). При достаточно большой энергии фотона его удар по молекуле также может привести к выбросу электрона. Однако в случае более низкой энергии фотонов при падении света на атом или молекулу он может поглощаться без испускания электронов. Внутренняя энергия атома или молекулы при этом возрастает, поскольку к ней добавляется энергия фотона.
Молекулы (и атомы) состоят из заряженных частиц: электронов, заряженных отрицательно, и атомных ядер, несущих положительный заряд. В видимом и ультрафиолетовом диапазонах, то есть при длине волны менее 700 нм, частота света очень велика. Колеблющееся электрическое поле света взаимодействует с заряженными частицами молекул. Электроны очень легкие, и поэтому им проще откликнуться на быстрые колебания электрического поля света видимого или ультрафиолетового диапазона. Поглощение видимого излучения и ультрафиолета вызвано увеличением энергии электронов в молекуле.
Вопрос состоит в том, какова длина световых волн, которые будут поглощаться молекулой? Это очень сложный вопрос для любой конкретной молекулы. Чтобы теоретически определить спектр поглощения молекулы, приходится выполнять огромное количество квантовомеханических расчетов. Тем не менее важные аспекты молекулярного поглощения света можно разобрать на основе задачи о частице в ящике. В качестве чрезвычайно упрощенной модели молекулы мы будем рассматривать одиночный электрон в ящике молекулярного размера. В конце мы подставим в формулы числа. Когда на электрон, находящийся в ящике (молекуле), никакой свет не падает, он пребывает в состоянии с наименьшей энергией, так называемом основном состоянии. Для частицы в ящике наименьшей энергии соответствует квантовое число n = 1. При n = 1
Когда на молекулу попадает свет, фотон может быть поглощен. В этом случае общая энергия света убывает на величину энергии поглощенного фотона. Энергия должна сохраняться, что обеспечивается переходом электрона в более высокое энергетическое состояние, то есть он покидает основное состояние с наименьшим уровнем энергии и переходит на более высокий энергетический уровень. Однако этот более высокий энергетический уровень не может иметь произвольное значение энергии, поскольку энергетические уровни частицы в ящике (и в молекулах) квантуются. Самое низкое энергетическое состояние над основным уровнем соответствует квантовому числу n = 2. Это состояние называется первым возбужденным. Электрон возбуждается при поглощении фотона и переходит из основного состояния в первое возбужденное. Энергия первого возбужденного состояния (n = 2) равна
Энергия должна сохраняться. Это верно для классической механики и остается верным в квантовой механике. Вначале электрон находился в основном состоянии. Затем, после поглощения фотона, перешел в возбужденное состояние. Следовательно, для того чтобы соблюдался закон сохранения, энергия фотона должна быть равна разности между энергией возбужденного состояния электрона и энергией его основного состояния. Только фотон с такой энергией может быть поглощен данной системой. Энергия фотона определяется длиной волны света. Следовательно, поглощаться может свет только некоторых определенных цветов.
Рисунок 8.7 иллюстрирует поглощение фотона. Стрелки показывают два разрешенных пути, по которым может поглотиться фотон. Их называют переходами. На рисунке отражены переходы из n = 1 в n = 2 и из n = 1 в n = 3. Чтобы фотон был поглощен, его энергия должна быть равна разности энергий двух квантовых уровней. Если энергия фотона не совпадает с разностью энергий двух квантовых уровней, он не может поглотиться.
Разность энергий ∆E между энергетическим уровням перового возбужденного состояния (n = 2) и энергетическим уровнем основного состояния (n = 1) равна
Это энергия, которую должен иметь фотон, чтобы заставить электрон совершить переход из основного состояния в первое возбужденное. Можно воспользоваться соотношением Планка E = h для энергии фотона, чтобы убедиться в том, что энергии ∆E соответствует определенная частота света. Кроме того, поскольку произведение длины волны и частоты равно скорости света = c, можно найти длину волны (цвет) того света, который будет испытывать поглощение.
Рис. 8.7.Энергетические уровни частицы в ящике. n — квантовое число, энергияE выражена в единицах h2/8mL2. Стрелками обозначено поглощение фотонов, которое может привести к переходу электрона с низшего энергетического уровня n = 1 на более высокие энергетические уровни n = 2, n = 3 и т.д. Чтобы фотон был поглощен, его энергия должна совпадать с разностью энергий квантовых уровней
Цвет фруктов
Подставим в формулы численные значения постоянной Планка h = 6,6 · 1034 Дж·c и массы электрона me = 9,1 · 10–31 кг. В качестве длины ящика L примем средний размер молекулы: L = 0,8 · 10–9 м (0,8 нанометра, 0,8 нм). Тогда
Разделив полученное значение энергии на h, получим частоту = 4,25 ·1014 Гц, которая соответствует длине волны поглощаемого света = 7,06 · 10–7 = 706 нм. Свет с длиной 706 нм находится у самого красного края видимого спектра. Что случится, если размер ящика (молекулы) будет меньше и составит, допустим, 0,7 нм, а не 0,8 нм? Энергия поглощаемого света при этом будет больше, а значит, с уменьшением размеров ящика длина волны поглощаемого света становится меньше. Поглощаемая энергия обратно пропорциональна L2 (L2 находится в знаменателе). Это означает, что с уменьшением размера ящика интервал между энергетическими уровнями увеличивается, а разность энергий возрастает как квадрат длины ящика. Таким образом, для ящика длиной 0,7 нм поглощаемая длина волны составит = 540 нм, что соответствует зеленому свету. Если же размер ящика будет еще меньше, допустим 0,6 нм, то = 397 нм, и это самый голубой край спектра света, видимого невооруженным глазом.