Абсолютный минимум. Как квантовая теория объясняет наш мир

Эйнштейн предположил, что формула Планка также применима и к фотонам, так что энергия фотона зависит от его частоты : E = h. С помощью этой формулы Эйнштейн объяснил, почему красный свет порождает более медленные электроны, чем голубой. Частота красного света ниже, чем голубого. Поэтому красный фотон менее энергичен, чем голубой. Продолжая аналогию с ­пулом, мы понимаем, что голубой фотон сильнее толкает электрон, чем красный, и поэтому электрон приобретает более высокую ­скорость. При таком объяснении становится понятно, почему по мере покраснения света выбиваемые им из металла электроны становятся все медленнее.

Очень красный свет не выбивает электронов

Остается объяснить еще одно наблюдение: почему электроны перестают вылетать из металла, когда свет становится слишком красным? Эйнштейн ответил и на этот вопрос. Когда электрон выбивается из металла фотоном, у него имеется определенная кинетическая энергия. Кинетическая энергия связана с его движением. Чем выше эта энергия, тем быстрее движется электрон. Она обозначается Ek, где индекс k означает «кинетическая». ­Кинетическая энергия вычисляется по формуле

,

где m — масса, а V — скорость. В таком случае скорость электрона, вылетевшего из металла, связана с его энергией, которая в свою очередь связана с энергией выбившего его фотона. Более энергичный фотон передаст электрону больше кинетической энергии, и электрон будет двигаться быстрее (с большей скоростью V).

Как уже говорилось, электроны удерживаются в металле энергией связи, обозначаемой Eb, где индекс b означает «связывание» (binding). В связи с этим часть энергии, принесенной фотоном, уходит на преодоление энергии связи. Кинетическая энергия, с которой электрон выходит из металла, равна разности энергии фотона E = h и энергии связи Eb. Таким образом, кинетическая энергия электрона составляет Ek = h – Eb. Чтобы электрон вылетел из металла, энергия фотона h должна быть больше энергии связи Eb. По мере того как свет краснеет (длина волны увеличивается), частота уменьшается, поскольку = с/, где c — скорость света. При некотором достаточно красном цвете h становится меньше Eb, и электроны больше не могут вылетать из металла. Повышение интенсивности света увеличивает число фотонов, падающих на металл, но ни один из них не имеет достаточной энергии, чтобы выбить электрон.

Тот факт, что электроны перестают вылетать из металла, когда фотоны уходят достаточно далеко в красную область (имеют достаточно низкую энергию), можно понять на примере детской уличной игры Red Rover.******** В этой игре группа детей из одной ­команды растягивается в шеренгу, держась за руки. Игрок из другой команды с разбегу бросается на эту шеренгу и, если бежит достаточно быстро (имеет высокую энергию), разрывает ее и продолжает двигаться, хотя и медленнее. При несколько меньшей скорости он все еще сможет прорвать шеренгу. Однако если он будет бежать достаточно медленно, то не сможет пробиться сквозь нее, поскольку энергии не хватит, чтобы преодолеть энергию связи рук в шеренге.

С какой скоростью вылетает электрон

Интересно прикинуть, с какой скоростью движется электрон, когда он вылетает из куска металла. Разные металлы имеют разную энергию связи, называемую работой выхода. Энергию связи металлов можно определить, смещая свет все дальше в красную область и наблюдая, при какой длине волны фотоны не смогут выбивать электроны. Для металлов с небольшой энергией связи предельная длина волны для выбивания электронов обычно составляет около 800 нм. Для = 800 нм: = 3,75 · 1014 Гц и Eb = h = 2,48 · 10–19 Дж. Если светить на такой металл зеленым ­светом с длиной волны 525 нм, то энергия фотона составит 3,77 · 10–19 Дж. Кинетическая энергия выбитого из металла электрона будет Ek = h – Eb = 1,30 · 10–19 Дж. Нетрудно найти скорость движения электрона из уравнения

,

где me — масса электрона, составляющая 9,11 · 10–31 кг. Умножая уравнение для Ek на 2 и деля его на me, получаем:

V2 = 2·(1,30 · 10–19 Дж)/me = = (2,60 · 10–19 Дж)/(9,11 · 10–31 кг) = = 2,85 · 1011 м2/с2.

Это значение квадрата скорости. Извлекая квадратный корень, получаем: V = 5,34 · 105 м/с, что составляет около двух миллионов километров в час. В этом примере фотоэлектрического эффекта выбитый электрон движется весьма резво.

Классическая электромагнитная теория, описывающая свет как волны, прекрасно работает применительно к огромному числу явлений, включая интерференцию, но совершенно не подходит для объяснения фотоэлектрического эффекта. Эйнштейн объяснил фотоэлектрический эффект, но теперь свет не может быть волнами. Что же тогда происходит с классическим описанием интерференции? Для примирения фотоэлектрического эффекта и интерференции нам придется вернуться к квантовой теории и котам Шрёдингера.

******** Колебаться. — Примеч. пер.

******** В нашей стране эта игра носит название «Али-Баба». — Примеч. пер.

5. Свет: волны или частицы?

Объяснение фотоэлектрического эффекта, которое обсуждалось в главе 4, требует нового теоретического описания интерференционного эксперимента, изображенного на рис. 3.4. Для того чтобы объяснение этого эксперимента не противоречило описанию фотоэлектрического эффекта, надо отказаться от классического мышления и совершить большой скачок к мышлению квантовоме­ханическому. Обсуждая в главе 2 абсолютные размеры, мы говорили о том, что измерению малой в абсолютном смысле системы всегда сопутствует возмущение, которым нельзя пренебречь. Однако мы не обсуждали природу и следствия такого возмущения. Теперь пришло время вплотную заняться выяснением истинного характера материи и тем, что происходит, когда мы выполняем измерения.

Проблема, с которой мы столкнулись, состоит в том, что для объяснения явления интерференции на рис. 3.4 используются световые волны, а для объяснения фотоэлектрического эффекта, представленного на рис. 4.3 и 4.4, — «частицы света» — кванты, называемые фотонами. В классической модели световых волн для количественного описания интерференции используются уравнения Максвелла. В этой теории световая волна математически описывается волновой функцией. Функция задает ее амплитуду, частоту и пространственную локализацию. Входящая световая волна характеризуется одной волновой функцией. В классическом представлении после того как световая волна попадает на полу­прозрачное расщепляющее зеркало, половина волны уходит по одному плечу интерферометра, а половина — по другому (см. рис. 3.4). Теперь есть две волны и две волновые функции — по одной для каждой волны. Эти волновые функции описывают волны, которые вдвое уступают по интенсивности первоначальной входящий волне и имеют разную локализацию — в двух плечах интерферометра. Если эти две волновые функции математически объединить для описания того, что происходит в области перекрытия, обведенной кружком на рис. 3.4, то можно рассчитать интерференционную картину. Все это так хорошо работает, что считалось, будто то же самое математическое представление может быть применимо и к фотонам.