Страница 16 из 16
Рассмотрим уравнение степенного закона: . Построив график этого уравнения для значений x от 2 до 10, мы получим первую кривую, изображенную ниже; график уравнения для значений x от 20 до 100 даст нам вторую кривую, изображенную ниже.
Кривая на графике в двух масштабах
Вы заметили разницу? Кривые абсолютно одинаковы. На самом деле, если построить кривую от n до 5n для любого значения n, она будет выглядеть точно так же, как на рисунке выше. Кривые для значений x от a до b всегда одинаковы, если отношение a/b представляет собой постоянную величину. Степенные законы раскрывают одну и ту же закономерность в любом масштабе, как бы далеко по хвосту вы ни продвинулись.
Если говорить о длинных хвостах, то такой был у Годзиллы.
Рост этого японского монстра (мутировавшего динозавра) — около 100 метров, что примерно в 50 раз больше роста высокого взрослого человека. А теперь представьте себе человека в 50 раз выше обычного роста, но с телом такой же формы. Этот увеличенный человек был бы в 50 раз шире и в 50 раз толще, а значит, в 50 × 50 × 50 = 125 000 раз тяжелее, чем раньше. Однако его кости в поперечном сечении увечились бы только в 50 × 50 = 2500 раз, стало быть, каждый квадратный дюйм его костей должен был бы поддерживать в 50 раз больше веса. Кости гигантского человека сломались бы при первой же попытке сделать шаг. Годзиллу постигла бы та же участь.
Согласен, нет ничего утомительнее, чем ворчание умника, утверждающего, что в реальном мире такой монстр просто не выжил бы. Тем не менее этот аргумент объясняет, почему животные разных размеров имеют разную форму. Чем крупнее животное, тем толще должны быть его кости относительно роста [17]. К такому выводу впервые пришел Галилей в 1638 году. У слона кости пропорционально толще, чем у человека, кости которого, в свою очередь, пропорционально толще костей собаки. Галилей понял, что у более крупных животных кости толще, потому что им приходится выдерживать больше веса в расчете на размер поперечного сечения кости.
Наблюдение Галилея можно представить в виде уравнения, в котором фигурируют площадь и объем. Утверждение о том, что площадь объекта в поперечном сечении находится в прямо пропорциональной зависимости от квадрата высоты, тогда как объем — в прямо пропорциональной зависимости от куба высоты, можно выразить двумя уравнениями:
площадь = l (высота)2;
объем = m (высота)3,
где l и m — константы.
Исключив переменную «высота», получим следующее уравнение:
Его можно преобразовать так:
А это уравнение можно отнести к следующему типу:
y = kxa,
где x и y — переменные, а k и a — константы.
Уравнение данного типа также называется степенным законом. Когда степенной закон выражен в такой форме, говорят, что переменная y находится в прямой пропорциональной зависимости от xa, а когда он представлен в виде уравнения , о котором шла речь выше, переменная y находится в обратной пропорциональной зависимости от xa.
График уравнения степенного закона y = x⅔ размещен ниже. На первом графике в нормальном масштабе кривая по мере повышения выравнивается. Если y — это площадь, а x — объем, то это показывает, что по мере увеличения объема площадь тоже увеличивается, но не так быстро. На графике в двойном логарифмическом масштабе (второй график) степенной закон, отражающий прямо пропорциональную зависимость, дает прямую линию с наклоном вправо.
Кривая y = x⅔ на графике в простом и двойном логарифмическом масштабе
Уравнение степенной зависимости между объемом и площадью обозначается также термином «закон масштабирования», поскольку оно демонстрирует, что происходит с измеримой величиной объекта (в данном случае площадью поперечного сечения) в результате увеличения общего размера.
В 30-х годах ХХ столетия швейцарский зоолог Макс Клайбер измерил вес нескольких видов млекопитающих и их уровень метаболизма (минимальное количество энергии, вырабатываемое животными в состоянии покоя) [18]. Когда ученый отобразил полученные данные на графике в двойном логарифмическом масштабе, получилась прямая линия, на основании которой он вывел следующий степенной закон:
скорость обмена веществ ≈ 70 (масса)¾
Этот закон известен как закон Клайбера. Впоследствии биологи расширили его действие на всех теплокровных животных, как показано на представленном ниже рисунке. Скорость обмена веществ растет не так быстро, как масса, а это говорит о том, что чем крупнее животные, тем эффективнее они вырабатывают энергию. Было также выявлено, что жизнь животных подчиняется и многим другим законам масштабирования. Например, продолжительность жизни животных прямо пропорциональна массе в степени ¼, а частота сердечных сокращений обратно пропорциональна массе в степени ¼. Поскольку коэффициент степенного закона — это в большинстве случаев величина, кратная ¼, биологические степенные законы называют законами четвертного степенного масштабирования. Учитывая разнообразие животного мира (размер млекопитающих колеблется от этрусской мыши весом около одного грамма до голубого кита, который в 100 миллионов раз тяжелее), действительно замечательно, что информация о размере животного позволяет так много сказать о нем.
Закон Клайбера
Физик Джеффри Уэст из Института Санта-Фе и биологи Джеймс Браун и Брайан Энквист из Университета Нью-Мексико разработали математическую теорию, которая объясняет эффект четвертного степенного масштабирования [19]. Если в общих чертах, то они утверждают, что при рассмотрении любого организма как транспортной системы (кровь поступает в аорту, разветвляющуюся на артерии, которые, в свою очередь, разветвляются на более узкие кровеносные сосуды) ее оптимизация под имеющееся пространство порождает степенной закон. Подробное объяснение данного феномена выходит за рамки материала этой книги, но представляет интерес в данном контексте в связи с другой работой Уэста — изучением организма иного типа: города.
Уэст и его коллеги обнаружили, что масштабирование по степенному закону весьма характерно для маленьких и больших городов [20]. Проанализировав огромное количество экономических и социальных данных и отобразив полученные результаты на графиках в двойном логарифмическом масштабе, они установили, что в США имеют место следующие закономерности:
количество изобретателей = k (численность населения)1,25
Конец ознакомительного фрагмента. Полная версия книги есть на сайте ЛитРес.