Страница 13 из 94
Если же вы положите 100 долларов в копилку и каждый год будете добавлять к ее содержимому по 7 долларов, сумма будет расти линейно. В конце первого года в копилке будет 107 долларов, точно так же, как и на счете в банке. Но в конце десятого года в копилке будет 170 долларов, то есть меньше, чем в банке, хотя разница не настолько велика, чтобы огорчаться.
Поначалу оба вида роста ведут себя похожим образом, но в один прекрасный момент взрывной характер экспоненциального роста себя проявит (рис. 2.3). Через 20 лет в копилке будет 240 долларов, тогда как на банковском счете почти 400 долларов. К концу тридцатого года линейный рост в копилке даст всего 310 долларов, а банковский вклад под 7 % годовых будет располагать суммой в 761 доллар. За 30 лет экспоненциальный рост под 7 % годовых обеспечил разницу в сравнении с линейным ростом больше чем вдвое, хотя стартовая сумма была одинаковая.
В конце пятидесятого года сумма в банке будет в 6,5 раза больше, чем в копилке — разница составит почти 2500 долларов.
Удивительные результаты экспоненциального роста на протяжении столетий приводили людей в восхищение. Существует старая персидская легенда об одном мудром придворном, который подарил своему повелителю прекрасно отделанную шахматную доску, а взамен попросил дать ему 1 зернышко риса за первую клетку, 2 зернышка за вторую, 4 за третью и т. д.
Повелитель согласился и приказал нести рис из кладовых. Для четвертой клетки шахматной доски потребовалось 8 зерен, для десятой — 512, для пятнадцатой — 16 384, а для двадцать первой — уже больше миллиона. К сорок первой клетке число зерен превысило триллион (1012). Чтобы расплатиться за все 64 клетки доски, не хватило бы всех запасов риса в мире.
Детская французская загадка иллюстрирует другую характерную черту экспоненциального роста — внезапность, с которой экспоненциально растущая величина достигает определенного предела. Предположим, у вас есть пруд, в котором растет одна кувшинка. Каждый день число кувшинок удваивается. Если позволить им расти бесконтрольно, за 30 дней они покроют всю поверхность пруда, уничтожив в нем все другие формы жизни. Но поначалу кажется, что кувшинок не так уж и много, так что они не вызывают у вас беспокойства, по крайней мере пока не заполонят половину пруда. На какой день это произойдет и сколько времени у вас будет, чтобы спасти пруд?
На спасение пруда у вас будет всего один день, потому что кувшинки покроют половину поверхности на 29-й день. На следующий день, после финального удвоения, пруд будет покрыт ими полностью. Это только поначалу кажется разумным отложить принятие мер до того момента, когда пруд будет закрыт кувшинками наполовину. На 21-й день растения покрывают примерно 0,2 % поверхности. На 25-й день закрыто 3 % зеркала воды. И все равно при таком подходе на спасение пруда у вас будет всего один день[17].
Из этого примера видно, каким образом экспоненциальный рост в сочетании с запаздыванием реакции может привести к выходу за пределы. Поначалу долгое время рост кажется незначительным, никто и не думает, что это может вызвать какие-то проблемы. Но затем он становится все быстрее и быстрее, пока за последние одно-два удвоения время на реагирование не истечет. В развитии событий в пруду с кувшинками за последний день не происходит никаких принципиальных изменений, процент роста был постоянным весь месяц, от начала и до конца. Просто получается, что в определенный момент экспоненциальный рост набирает такую силу, что справиться с ним уже невозможно.
Особенности экспоненциального роста, его переход от незначительных величин к выходу за пределы можно попробовать на себе. Представьте себе, что вам надо съесть один орешек в первый день месяца, два — во второй день, четыре — в третий и т. д. Сначала вы покупаете и едите орехи по чуть-чуть. Но задолго до конца месяца у вас уже будут проблемы с желудком и состоянием банковского счета. Сколько вы сумеете продержаться, соблюдая экспоненциальную зависимость? На десятый день вам надо будет съесть примерно полкило орехов. А на тридцатый день месяца, чтобы соблюсти принцип удвоения, вам придется купить и съесть больше 500 т!
История с орехами не приведет к тяжелым последствиям по той простой причине, что в один прекрасный день вы окинете взглядом горку орехов, которую вам явно не съесть, и прекратите этот эксперимент. В этом примере нет существенных задержек между действием и его последствиями.
Величина, растущая в соответствии с простой экспоненциальной зависимостью, удваивается за фиксированный период времени. Д ля колонии дрожжей время удвоения составляло 10 минут. Для банковского вклада под 7 % годовых — примерно 10 лет. Для кувшинок в пруду и эксперимента с орехами — ровно один день. Существует простая зависимость между процентом прироста и временем удвоения. Время удвоения приблизительно равно числу 72, деленному на процент прироста.[18] Это иллюстрирует табл. 2.1.
Чтобы проиллюстрировать, к чему приводит постоянное удвоение, рассмотрим пример Нигерии. В 1950 г. численность населения Нигерии составляла порядка 36 млн чел. В 2000 г. она составляла уже 125 млн. За вторую половину XX в. население Нигерии выросло практически в четыре раза. В 2000 г. ежегодный прирост составлял примерно 2,5 %[19]. Время удвоения, рассчитанное как частное 72 и 2,5, составляет примерно 29 лет. Если такие темпы роста сохранятся, население Нигерии будет изменяться в соответствии с табл. 2.2.
Таблица 2.1. Время удвоения
Таблица 2.2. Рост численности населения Нигерии (экстраполяция)
Ребенок, родившийся в Нигерии в 2000 г., вступил в общество, в котором в 4 раза больше людей, чем было в 1950 г. Если рост сохранит те же темпы после 2000 г., а этому ребенку удастся прожить 87 лет, то ему предстоит увидеть население, увеличившееся еще в 8 раз. Тогда в конце XXI в. на каждого нигерийца, жившего в 2000 г., будет приходиться 8 человек, а на каждого жившего в 1950 г. — 28. В Нигерии тогда будет больше миллиарда жителей!
Нигерия — всего лишь одна из многих стран, страдающих от голода и деградации окружающей среды. Разумеется, страна не выдержит увеличения населения еще в 8 раз. Расчеты, которые мы привели в табл. 2.2, призваны показать характер явления удвоения и продемонстрировать, что экспоненциальный рост в ограниченном пространстве с ограниченными ресурсами ни при каких условиях не может продолжаться вечно.
Тогда почему современный мир основан на таком росте? И как его можно остановить?
Примеры экспоненциального роста
Экспоненциальный рост может происходить в двух случаях: если растущий объект воспроизводит сам себя или его рост обусловлен чем-то, что воспроизводит само себя.
Все живые организмы, от бактерий до человека, попадают в первую категорию, то есть новые существа воспроизводятся подобными. Структуру системы самовоспроизводства популяции можно отобразить так, как показано на рис. 2.4.
Эту схему мы построили в соответствии с правилами системной динамики, нашей научной области, позволяющей получить точные результаты. Прямоугольник со словами «популяция дрожжей» отображает уровень — накапливаемый параметр, результат увеличения или уменьшения популяции дрожжей. Стрелками показаны причинные связи или влияния, которые могут принимать самые разные формы. На схеме верхняя стрелка отображает физический поток, приток новых дрожжевых клеток, который увеличивает уровень — дрожжевую популяцию. Стрелка, направленная вниз, иллюстрирует информационное влияние и показывает, что на приток новых клеток влияет значение уровня — число уже