Беседы об АСУ

Аналогичное соотношение можно составить по обивочным материалам: 40x + 80y < 800. Этому неравенству соответствует заштрихованная область на втором рисунке справа.

Поскольку оба неравенства должны выполняться одновременно — на каждый гарнитур необходимо и дерево, и обивочные материалы — обе области надо совместить. Это сделано на рисунке слева. Разберемся, что собой представляет область с двойной штриховкой.

Во-первых, вспомним, что каждая точка на графике — это план производства. Так, точка с координатами x = 4; y = 6 означает план, при котором будет произведено 4 гарнитура „Мадам Петухова“ и 6 гарнитуров „Генеральша Попова“.

Во-вторых, каждая точка в заштрихованной области первого рисунка — это план, который обеспечен древесиной, каждая точка в заштрихованной области второго рисунка — это план, который обеспечен обивкой. Таким образом, точки области третьего рисунка с двойной штриховкой — это планы производства, обеспеченные и древесиной и обивкой, то есть область допустимых планов. Из них необходимо выбрать оптимальный план, при котором прибыль будет максимальной. Величина прибыли выражается просто. Если выпустить x гарнитуров первого типа, получив по 400 рублей прибыли за каждый, и у гарнитуров второго типа, получив по 500 рублей прибыли за гарнитур, то всего будет получено 400x + 500у рублей прибыли.

Так вот — триумфально заключил великий комбинатор — величина прибыли достигает максимума в точке пересечения наклонных границ. На третьем рисунке она обозначена буквой О. Ее координаты легко вычислить, решив совместно уравнения этих прямых. Получим: x = 8, y = 6. Итак, оптимальный план выпуска: восемь „мадам“ и шесть „генеральш“. Прибыль составит 400 · 8 + 500 · 6 = 6200 руб. При этом мы используем и всю древесину, и все обивочные материалы. И никаких противоречий с уголовным кодексом!»

«Конгениально…» — прошептал экс-предводитель.

Выражаясь современным языком исследования операций, талантливый сын турецкого подданного для принятия решения о плане производства построил модель «линейного программирования». Неравенства, ограничивающие заштрихованные области на первых двух рисунках, называются ограничениями модели. Формула, выражающая прибыль, называется целевой функцией. А совокупность ограничений и целевой функции — это и есть модель «линейного программирования».

Задача «линейного программирования» («ЛП-задача», как говорят и пишут для сокращения) заключается в том, чтобы найти допустимый план, то есть план, удовлетворяющий ограничениям и который в то же время максимизирует значение целевой функции.

Для решения «ЛП-задачи» вовсе нет необходимости рисовать области допустимых решений и по ним искать точку оптимума. Разработанный стандартный метод, называемый симплексным алгоритмом, позволяет по записанной в специальном виде модели «линейного программирования» («ЛП-модели») отыскать оптимальное решение.

Симплексный алгоритм очень трудоемок, и решение сколь-нибудь значительных «ЛП-задач» возможно только на ЭВМ. В библиотеках стандартных программ современных вычислительных центров, как правило, есть и симплексный алгоритм. Поэтому решение управленческой задачи практически заканчивается после того, как модель построена и получена необходимая для решения информация. Дальше следует чисто техническая работа: вызов программы симплексного алгоритма и работа ее на ЭВМ.

Широкая область применения «ЛП-модели» объясняется в первую очередь вычислительными удобствами. Но главная причина их распространенности кроется в другом: в них заложено решение широко распространенной задачи планирования — задачи о балансировке ресурсов. Возникает она вот почему.

Как правило, ресурсы предприятия складываются годами, и к началу каждого планового периода предприятие уже располагает некоторым набором ресурсов, который изменить можно лишь незначительно. Если у предприятия есть 123 токарных и 87 фрезерных станков с соответствующим количеством рабочих, то резко нарушить это соотношение за год практически невозможно. В то же время предприятию может понадобиться изготавливать в этом году изделия, в которых в два раза больше токарных работ, чем фрезерных. При общем балансе это означает, что для выполнения программы необходимо 140 токарных и 70 фрезерных станков. Ясно, что если изготавливать только эти изделия, то часть фрезерных станков будет простаивать, а токарная группа будет перегружена. Поэтому производственная программа «разбавляется» другими изделиями. Вот ценность «ЛП-задачи» и заключается в том, что с ее помощью можно приготовить оптимальную «смесь» изделий, то есть такую производственную программу, когда ресурсы используются максимально.

Легко видеть, что, имея всего только два вида ресурсов, задачу решить непросто, скажем, методом подбора или каким-нибудь другим методом, основанным на здравом смысле. Лишь методы «линейного программирования» позволяют найти оптимальный набор.

К сожалению, вычислительные удобства решения «ЛП-задач» иногда не помогают, а даже вредят делу, так как часто незадачливыми экономистами делаются попытки решать этим методом задачи, явно не описывающиеся моделью «линейного программирования».

Иногда в модели наблюдаются существенные нелинейные ограничения, а нелинейные задачи решаются очень трудно даже на ЭВМ. Чтобы обойти эту трудность, допускается определенная идеализация: нелинейное ограничение заменяется на линейное. При этом получается «ЛП-задача», которая хорошо решается. Правда, иногда такое решение плохо описывает экономическую ситуацию, то есть получается решение, имеющее довольно слабое отношение к реальной действительности.

Однако если тщательно изучить экономическую ситуацию с нелинейными ограничениями, то в ней нередко можно выделить часть, в которой линейная модель может быть полезна если не для принятия решения, то для описания или исследования. Ведь не зря в других науках, особенно в физике, линейные модели почти сплошь применяются для исследования нелинейных явлений. Так что при грамотном подходе и к этой сфере задач могут быть применены модели «линейного программирования».

— Как же решаются вопросы применения линейных и нелинейных моделей в сфере, о которой мы говорим, в сфере управления экономическими системами?

— Пока недостаточно хорошо. Практически все созданные экономические модели — линейные, а модели, связанные с управлением предприятиями, с внутризаводским планированием, и подавно. Причем можно выделить две степени недостаточности.

Плохо, когда линейная модель строится вместо нелинейной потому, что экономисты не умеют решать задачи с нелинейными зависимостями. Но совсем плохо, когда применяют линейную модель потому, что считают, что все должно быть линейно; и очень потом удивляются, когда действительность не совпадает с расчетами. Так, начинающий стрелок, уверенный, что пуля должна лететь по прямой линии в центр мишени, недоумевает, что она попадает выше «яблочка», хотя он прицеливается очень тщательно. Примерно так же рядовой заводской экономист, слыхом не слышавший про нелинейные модели, во внутризаводских плановых и экономических расчетах убежденно пользуется линейными моделями, а отклонения, вызванные нелинейностями, сглаживает всевозможными коэффициентами. Если в конце месяца на самом деле оказывалось все не так, как планировалось, — не беда: чем разбираться в сути дела, проще по отчетным данным определить поправочный коэффициент и в следующем месяце поправить план на этот коэффициент. А если какая-нибудь голова в отраслевом институте еще и написала и разослала методику, в которой указано, что этот коэффициент в среднем по отрасли равен, к примеру, 1,08, то и совсем прекрасно, над его определением и думать не надо. Хорош ли этот принцип планирования?