Страница 20 из 47
Будем все же следовать гражданскому долгу и ориентироваться на выгоды народного хозяйства, то есть в «транспортной задаче» минимизировать грузооборот. Модель задачи обычно строится в виде таблицы.
Табл. 8.
Пусть имеется три поставщика и три потребителя. Мощности и спросы указаны в заголовках таблицы 8. На пересечении столбцов и строк в клетках таблицы указаны расстояния между поставщиком и потребителем, например, от поставщика № 2 до потребителя № 1 — 2 километра. Суммарная мощность всех поставщиков равна 200 тоннам, и этому же числу равен суммарный спрос потребителей. Это условие естественное, но вовсе необязательное. Оно упрощает задачу, но для модели несущественно, и дальше будут рассматриваться экономические ситуации, в которых это условие не выполняется.
В чем заключается задача? Требуется составить план поставок, то есть определить, сколько груза везти от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы весь груз поставщиков был вывезен, а все спросы потребителей были удовлетворены. Если посмотреть в таблицу, то это означает, что в каждую клетку надо записать число-поставку, причем так, чтобы сумма поставок в строке была равна мощности, а сумма поставок в столбце составляла спрос. Если теперь остановиться на мгновение и посмотреть на таблицу, то задача о перевозке груза почти пропала и осталась математическая головоломка в виде таблицы, которую надо заполнить числами так, чтобы суммы по столбцам и строкам были равны определенным величинам. Вот так осуществляется моделирование: реальные объекты и соотношения заменяются числами и зависимостями между ними.
Табл. 9.
Решать эту задачу можно разными способами. Например, в таблице 9 представлен один из возможных вариантов плана поставок. Каждая клетка таблицы разделена на две части. В верхней по-прежнему записано расстояние в километрах, а в нижнюю занесен объем поставки в тоннах. Так, поставщик № 1 везет потребителю № 1 2 тонны, поставщик № 2 везет потребителю № 3 42 тонны и т. д. Принцип составления плана поставок в таблице чисто «потолочный», единственное условие, которое контролировалось: суммы поставок в строках должны быть равны мощностям, а суммы поставок в столбцах — спросам. Объем грузооборота нетрудно подсчитать, для чего надо в каждой клетке верхнее число умножить на нижнее, а суммы сложить. Тогда грузооборот составит:
3 · 2 + 1 · 8 + 4 · 35 + 2 · 3 + 3 · 30 + 1 · 42 + 6 · 45 + 5 · 22 + 2 · 13 = 698 тонна-километров.
Однако «потолочный» принцип все же не является доминирующим при практическом составлении плана поставок. Обычно верх берет великий и универсальный здравый смысл. Составляется план в соответствии с ним (см. таблицу 10).
Табл. 10.
Самыми маленькими расстояниями в таблице являются расстояния от потребителя № 2 до поставщика № 1 и от потребителя № 3 до поставщика № 2 — 1 километр. Принимается решение везти на эти расстояния максимальное количество груза, то есть всю мощность поставщиков № 1 и № 2. Заносятся эти поставки в соответствующие клетки таблицы. Поскольку нераспределенной осталась только мощность поставщика № 3, то распределяется и она: не хватает 15 тонн потребителю № 3, недостающие 15 тонн потребителю № 2, а остальные 50 тонн поставляются потребителю № 1. В остальные клетки ничего не записывается, так как ничего не поставляется. Объем грузооборота оказался равен:
1 · 45 + 1 · 75 + 2 · 15 + 5 · 15 + 6 · 50 = 525 тонна-километрам.
Итак, здравый смысл позволил сэкономить 173 тонна-километра. Что же дальше?
Дальше здравый смысл молчит. Кажется, что лучше не придумаешь. При внимательном рассмотрении таблицы 10 вызывает, правда, некоторое беспокойство тот факт, что из-за слишком активного применения принципа «вези к ближайшему» пришлось в конце концов везти 50 тонн на максимальное расстояние — 6 километров. Поневоле вспоминается пример с цементом, когда все быстро прикрепились к ближайшим поставщикам и в результате пришлось с Сахалина груз везти в другой конец страны!
Математический анализ «транспортной задачи» позволяет создать алгоритм получения оптимального решения, который, в общем, не имеет ничего общего с правилом, диктуемым здравым смыслом. В этом случае получается решение, представленное в таблице 11.
Табл. 11.
Объем грузооборота для него 360 тонна-километров, то есть еще на 165 тонна-километров меньше. Эти 165 тонна-километров — чистый выигрыш от применения математики. Вот ответ на третий вопрос — какую конкретную пользу можно получить от применения экономико-математических методов.
Использование модели «транспортной задачи» в планировании перевозок приносит гигантский экономический эффект. В литературе приводятся такие факты. Затраты на перевозки всех грузов всевозможными видами транспорта по стране в 1968 году составили более 20 миллиардов рублей. В результате укрупнения автотранспортных предприятий расширяются массовые перевозки таких продуктов, как хлеб, молоко, кирпич, сборные железобетонные конструкции, песок и т. д. В Москве песок перевозится с десятка пристаней, а кирпич и сборный железобетон — с нескольких десятков заводов на сотни строительных площадок, хлеб с нескольких десятков заводов в тысячи магазинов. Анализ показывает, что, если при планировании перевозок пользоваться моделью «транспортной задачи», это даст возможность сэкономить до 40 процентов средств!
На этом можно было закончить рассказ о «транспортной задаче» как о примере моделирования, если бы не необходимость посмотреть, в каких еще ситуациях используется ее модель. А на этой модели, оказывается, можно решать еще несколько классов задач!
Имеются поля, на которых выращиваются сельскохозяйственные культуры. Площадь каждого поля известна, задан план съема каждой культуры.
Поскольку все поля разные, то на каждом поле можно добиться одинаковой урожайности лишь в том случае, если затрачивать разное количество труда. (Можно, конечно, принять другое, аналогичное предположение: затрачивается одинаковый труд, но при этом будет получен разный урожай — это не меняет задачи.) Требуется так распределить площади под все культуры, чтобы получить заданный по каждой культуре урожай с минимальными затратами труда. Здесь довольно прозрачно проглядывает транспортная модель, не так ли?
Каждое поле и его площадь — это поставщик и его мощность. Требуемый съем (урожай) культуры, поделенный на урожайность (объем урожая с одного гектара), дает требуемую посевную площадь под каждую культуру — спрос потребителя. Расстоянием являются затраты труда, а поставка — площадь поля, которое надо выделить под данную культуру. Теперь нетрудно составить транспортную модель в виде таблицы и, решив с ее помощью задачу, получить оптимальное распределение посевных площадей под культуры. Так, моделью сугубо сельскохозяйственной проблемы явилась «транспортная задача».
А вот ситуация, которая довольно часто складывается на промышленном предприятии. Имеется участок, на котором все рабочие умеют выполнять все работы. Несмотря на такую универсальность, у каждого рабочего все же есть свои любимые работы, на которых его производительность труда больше, и есть работы, где из-за отсутствия навыка или по другим причинам он не может показать высокую производительность труда. Пусть индивидуальная производительность труда каждого рабочего при выполнении каждой работы известна. Возникает задача: как назначить работу каждому рабочему, чтобы суммарная производительность участка была максимальной?