Страница 127 из 159
Теперь легко догадаться, что получить требуемую таблицу можно исходя из первой строки с помощью сложения. Например, чтобы продолжить начатую таблицу еще на одну строку, нужно выполнить сложения:
156+24=180
590+180=770
1695+770=2465
4096+2465=6561
В разностной машине Бэббиджа применялись те же десятичные счетные колеса, что и у Паскаля. Для изображения числа использовались регистры, состоящие из набора таких колес. Каждой колонке таблицы, кроме 1, содержащей ряд натуральных чисел, соответствовал свой регистр; всего в машине их было семь, поскольку предполагалось вычислять функции с постоянными шестыми разностями. Каждый регистр состоял из 18 цифровых колес по числу разрядов изображаемого числа и нескольких дополнительных, используемых как счетчик числа оборотов для других вспомогательных целей.
Если все регистры машины хранили значения, соответствующие последней строке нашей таблицы, то для получения очередного значения функции в колонке 2 необходимо было последовательно выполнить число сложений, равное числу сложений имеющихся разностей. Сложение в разностной машине происходило в два этапа. Регистры, содержащие слагаемые, сдвигались так, чтобы произошло зацепление зубцов счетных колес. После этого колеса одного из регистров вращались в обратном направлении, пока каждое из них не доходило до нуля. Этот этап назывался фазой сложения. По окончании этого этапа в каждом разряде второго регистра получалась сумма цифр данного разряда, но пока еще без учета возможных переносов из разряда в разряд. Перенос происходил на следующем этапе, который назывался фазой переноса, и выполнялся так. При переходе каждого колеса в фазе сложения от 9 к 0 в этом разряде освобождалась специальная защелка. В фазе переноса все защелки возвращались на место специальными рычагами, которые одновременно поворачивали колесо следующего старшего разряда на один шаг. Каждый такой поворот мог в свою очередь вызвать в каком-то из разрядов переход от 9 к 0 и, значит, освобождение защелки, которая снова возвращалась на место, сделав перенос в следующий разряд. Таким образом, возвращение защелок на место происходило последовательно, начиная с младшего разряда регистра. Такая система получила название сложения с последовательным переносом. Все остальные арифметические операции выполнялись посредством сложения. При вычитании счетные колеса вращались в противоположную сторону (в отличие от машины Паскаля, разностная машина Бэббиджа позволяла это делать). Умножение сводилось к последовательному сложению, а деление — к последовательному вычитанию.
Описанный способ можно было применять не только для вычисления многочленов, но и других функций, например, логарифмических или тригонометрических, хотя в отличие от многочленов они не имеют строго постоянных старших разностей. Однако все эти функции можно представить (разложить) в виде бесконечного ряда, то есть многочлена простого вида, и свести вычисление их значений в любой точке к задаче, которую мы уже рассмотрели. Например, sin x и cos x можно представить в виде бесконечных многочленов:
sin x = x — x3/3! + x5/5! -… + (-1)n • x2n+1/(2n+1)! +…
cos x = 1 — x2/2! + x4/4! -… + (-1)n • x2n/(2n)! +…
Эти разложения истинны для всех значений функции от 0 до p/4 (p/4=3, 14/4=0, 785) с очень большой точностью. Для значений x, которые больше p/4, разложение имеет другой вид, но на каждом из этих участков тригонометрическая функция может быть представлена в виде какого-то многочлена. Количество пар слагаемых ряда, которые принимаются в расчет при вычислениях, зависит от точности, которую желают получить. Если, к примеру, требования к точности невелики, можно ограничиться двумя-четырьмя первыми слагаемыми ряда, а остальные отбросить. Но можно взять больше слагаемых и вычислить значение функции в любой точке с какой угодно точностью. (Заметим, что 2!=1•2=2; 3!=1•2•3=6; 4!=1•2•3•4=24 и т.д.) Так вычисление значений любой функции сводилось Бэббиджем к одной простой арифметической операции — сложению. Причем при переходе от одного участка функции к другому, когда требовалось сменить значение разности, разностная машина сама давала звонок (он звонил после выполнения определенного числа шагов вычисления).
Уже одно создание разностной машины обеспечило бы Бэббиджу почетное место в истории вычислительной техники. Однако он не остановился на этом и начал разрабатывать конструкцию гораздо более сложной — аналитической машины, которая стала прямой предшественницей всех современных ЭВМ. В чем же заключалась ее особенность? Дело в том, что разностная машина, по существу, оставалась еще только сложным арифмометром и требовала для своей работы постоянного присутствия человека, который держал в своей голове всю схему (программу) расчетов и направлял действия машины по тому или иному пути. Понятно, что это обстоятельство являлось определенным тормозом при выполнении расчетов. Около 1834 года Бэббиджу пришла в голову мысль: «Нельзя ли создать машину, которая была бы универсальным вычислителем, то есть выполняла бы все действия без вмешательства человека и в зависимости от полученного на определенном этапе решения сама выбирала бы дальнейший путь вычисления?»
По существу это означало создание программно-управляемой машины. Та программа, которая до этого находилась в голове оператора, теперь должна была быть разложена на совокупность простых и ясных команд, которые бы заранее вводились в машину и управляли ее работой. Никто и никогда еще не пытался создать подобной вычислительной машины, хотя сама идея программно-управляемых устройств уже была в то время реализована. В 1804 году французский изобретатель Жозеф Жаккар придумал ткацкий станок с программным управлением. Принцип его работы сводился к следующему. Ткань, как известно, представляет собой переплетение взаимно перпендикулярных нитей. Переплетение это осуществляется на ткацком станке, в котором нити основы (продольные) продеты через глазки — отверстия в проволочных петлях, а поперечные продергиваются через эту основу в определенном порядке при помощи челнока. При самом простом переплетении петли через одну поднимаются, соответственно приподнимаются и продетые через них нити основы. Между поднятыми и оставшимися на месте нитями образуется промежуток, в который челнок протягивает за собой нить утка (поперечную). После чего поднятые петли опускаются, а остальные приподнимаются. При более сложном узоре переплетения нити следовало приподнимать в других различных комбинациях. Опусканием и подниманием нитей основы вручную занимался ткач, что обычно отнимало много времени. После 30-летней настойчивой работы Жаккар изобрел механизм, позволявший автоматизировать движение петель в соответствии с заданным законом при помощи набора картонных карт с пробитыми в них отверстиями — перфокарт. В станке Жаккара глазки были связаны с длинными иглами, упирающимися в перфокарту. Встречая отверстия, иглы продвигались вверх, в результате чего связанные с ними глазки приподнимались. Если же иглы упирались в карты в том месте, где отверстий нет, они оставались на месте, удерживая так же связанные с ними глазки. Таким образом, промежуток для челнока, а тем самым и узор переплетения нитей определялся набором отверстий на соответствующих управляющих картах.
Этот же принцип управляющих перфокарт Бэббидж предполагал использовать в своей аналитической машине. Над ее устройством он работал в течение почти сорока лет: с 1834-го до конца своей жизни в 1871 году, но так и не смог ее закончить. Однако после него осталось более 200 чертежей машины и ее отдельных узлов, снабженных множеством подробных примечаний, объясняющих их работу. Все эти материалы представляют огромный интерес и являются одним из удивительнейших в истории техники примеров научного предвидения.
По мысли Бэббиджа, аналитическая машина должна была включать четыре основных блока.
Первое устройство, которое Бэббидж назвал «мельница», было предназначено для выполнения четырех основных арифметических действий. Второе устройство — «склад» — предназначалось для хранения чисел (исходных, промежуточных и окончательных результатов). Исходные числа направлялись в арифметическое устройство, а промежуточные и конечные результаты получались из него. Основным элементом двух этих блоков были регистры из десятичных счетных колес. Каждое из них могло устанавливаться в одном из десяти положений и таким образом «запоминать» один десятичный знак. Память машины должна была включать в себя 1000 регистров по 50 числовых колес в каждом, то есть в ней можно было хранить 1000 пятидесятизначных чисел. Скорость выполняемых вычислений напрямую зависела от скорости вращения цифровых колес. Бэббидж предполагал, что сложение двух 50-разрядных чисел будет занимать 1 секунду. Для переноса чисел из памяти в арифметическое устройство и обратно предполагалось использовать зубчатые рейки, которые должны были зацепляться с зубцами на колесах. Каждая рейка передвигалась до тех пор, пока колесо не занимало нулевое положение. Движение передавалось стержнями и связями в арифметическое устройство, где посредством другой рейки использовалось для перемещения в нужное положение одного из колес регистра. Базовой операцией аналитической машины, как и разностной, являлось сложение, а остальные сводились к ней. Для того чтобы вращать множество шестеренок, требовалось значительное внешнее усилие, которое Бэббидж рассчитывал получить за счет использования парового двигателя.