Страница 10 из 57
II. Два перпендикуляра к общей прямой параллельны.
II. Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то они перпендикулярны к ней.
III. Если Δ АВС подобен Δ А1В1С1, то АВ/А1В1 = АС/А1С1.
III. Если для треугольников ABC и А1В1С1 справедлива пропорция АВ/А1В1 = АС/А1С1 то треугольники подобны.
В примере IV мы в честь номера объединим сразу четыре теоремы.
IV. Если Δ АВС равнобедренный (АВ = ВС),
то 1) <А = <С;
2) высоты,
или медианы,
или биссектрисы углов А и С равны.
IV. Если в Δ АВС
1) <А = <С;
2) высоты,
или медианы,
или биссектрисы углов А и С равны, то треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС).
В этих примерах все прямые теоремы правильны. В каких случаях справедливы и обратные теоремы, читателям предоставляется возможность установить самостоятельно.
Любопытно, между прочим, что зачастую хотя обратная теорема совершенно правильна, но найти ее доказательство несравненно сложней, чем для прямой. Понятно, такой случай есть и в наших примерах.
Теорема 2 из примера IV — равенство биссектрис в равнобедренном треугольнике — доказывается очень несложно. Обратная же (раскроем секрет — абсолютно верная теорема) — довольно хитрая геометрическая задача.
После доказанной нами теоремы о параллельных, естественно, проверить обратную теорему. Сформулируем ее.
Если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что <А + <C1 = π (или выполняется любое из 12 равенств, приведенных раньше), прямые параллельны.
Если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что <А + <C1 = π (или выполняется любое из 12 равенств, приведенных раньше).
Обратная теорема о параллельных взята Евклидом как постулат V. Если же придерживаться цитатной точности, то у Евклида пятый постулат записан в чуть отличном виде.
Напомним определение, открывающее эту главу. Оно стоит этого.
Постулат V. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов (то есть сумма <А + <C1 меньше 2π (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2π.
И нарочито неуклюжий способ, которым Евклид ввел пятый постулат, и многозначительные 28 теорем, предшествующих ему, теорем, доказанных совершенно независимо от него, свидетельствуют о поразительной интуиции Евклида либо того неизвестного (если он существовал), у кого он заимствовал эту идею. Сейчас я попытаюсь обосновать свое утверждение. Это тем более приятное занятие, что опровергнуть меня невозможно. Фактов нет совершенно, и соответственно есть простор для историко-психологических экскурсов.
Посмотрим на исходные данные.
Ко времени написания «Начал» геометрия уже вполне сложившаяся, детально разработанная наука.
У нее есть и минимум трехсотлетняя история, и десятки решенных сложнейших проблем, и несколько «проклятых» задач типа дельфийской задачи об удвоении куба. Благодаря Платону и Аристотелю установлена, признана и царствует дедуктивная схема.
Историк геометрии может уже прославлять примерно четыре десятка талантливейших математиков. Называя это число, я говорю о тех, чьи имена дошли до нас. На каждого такого ученого, несомненно, причитается по меньшей мере десяток менее крупных и неизвестных нам геометров.
Что геометрию следует развивать на основе аксиом, согласны практически все. И очевидно, большинство согласно с Аристотелем в том, что аксиомы и основные понятия должны удовлетворять требованию очевидности. Формулировка же самих аксиом — утверждает Аристотель — дело слишком ответственное, чтобы доверять его математикам. Это задача высшая.
И естественно, допущены к ней могут быть лишь достойнейшие.
То есть философы.
Верят геометры Аристотелю или не верят, но принято с ним соглашаться.
Вне всяких сомнений, обратную теорему о параллельных прямых пробовали доказать до Евклида, и пробовали не раз. И думаю, ко времени Евклида было ясно — есть два решения:
1. Доказать обратную теорему о параллельных на основе остальных постулатов геометрии. При этом по условиям игры никаких новых добавочных постулатов вводить не разрешается.
Сторонники этой школы должны были полагать, что «обратная теорема о параллельных» не более чем сложная теорема и непременно следует из остальных постулатов.
2. Можно к нашим четырем постулатам добавить еще какой-нибудь такой, что обратная теорема о параллельных сразу будет получена с его помощью. Причем этот добавочный постулат можно формулировать так, что он будет выглядеть предельно естественным и очевидным.
Трудно поверить, что предшественники и современники Евклида — блестящие геометры эпохи расцвета науки — не могли додуматься до целого семейства эквивалентных и «очевидных» формулировок пятого постулата. Поверить в это трудно прежде всего потому, что некоторые из них напрашиваются сами.
На первом пути, естественно, успехов не было достигнуто ни тогда, ни еще две тысячи лет после Евклида. Сейчас-то благодаря Лобачевскому мы знаем: успеха и не могло быть. Но… это мы знаем сейчас.
Тем привлекательней должна была выглядеть вторая возможность: предложить эквивалентный, но простой и естественный постулат — смазать, затушевать неприятное пятно и успокоиться.
Масса комментаторов Евклида, возившихся с пятым постулатом, явно либо неявно действовала именно так.
Невозможно предположить, чтобы столь крупный математик, как Евклид, серьезно занимавшийся проблемой пятого постулата (а то, что он уделял ей особое внимание, доказывает весь строй первой книги «Начал»), невозможно предположить — настаиваю я, — что он не набрел по пути на несколько эквивалентных и довольно естественных формулировок пятого постулата. Например, если объединить прямую теорему о параллельных и пятый постулат в Евклидовой форме, то немедленно следует:
Новая формулировка пятого постулата. Через точку С, лежащую вне прямой АВ в плоскости АВС, можно провести только одну прямую, не встречающую прямую АВ.
Обычно эту формулировку приписывают английскому математику XVIII столетия Плейферу, но, естественно, ее предлагали многие и многие комментаторы Евклида за много столетий до Плейфера.
Не правда ли, «аксиома Плейфера» выглядит куда естественней и привлекательней, чем постулат Евклида?
Еще одна формулировка. Ее обычно приписывают Лежандру, хотя и ее использовали много раньше и европейские и восточные геометры.
Постулат Лежандра. Перпендикуляр и наклонная к общей секущей АВ, расположенные в одной плоскости, непременно пересекаются. (Естественно, с той стороны секущей АВ, где наклонная образует с секущей острый угол.)