Страница 4 из 9
Рис. 2. Вавилонские цифры
Величина числа определяется его положением на числовой оси по сравнению с другими числами. Например, число 2 идет до числа 3 и после числа 1; ничто другое значения не имеет. Однако ноль сначала не занимал места на числовой оси, это был просто символ, не имевший места в иерархии чисел. Даже сегодня мы иногда воспринимаем ноль как «нечисло», несмотря на то, что все мы знаем, что он обладает собственной числовой значимостью; мы используем цифру 0 как символ-заполнитель, не связывая его с числом ноль. Ноль следует за цифрой 9, а не перед 1, где следовало бы. Не имеет значения, где находится символ-заполнитель, он может располагаться где угодно на числовой оси. Однако сегодня всем известно, что на самом деле ноль не может находиться где угодно, потому что имеет определенное собственное численное значение. Это число, которое отделяет положительные числа от отрицательных. Он является четным целым числом, предшествующим единице. Ноль должен находиться на своем законном месте — перед плюс единицей и после минус единицы. Никакое другое его положение не имеет смысла. Тем не менее ноль располагается в конце ряда на компьютерной клавиатуре и внизу экрана телефона, потому что мы всегда начинаем считать с единицы.
Единица представляется наиболее подходящей для начала счета, но это заставляет нас помещать ноль на неестественное для него место. Для других культур, как, например, майя, живших в Мексике и в Центральной Америке, начало счета с единицы вовсе не казалось рациональным. На самом деле майя имели систему чисел и календарь более логичные, чем наши. Как и у вавилонян, в их системе величина числа зависела от места, на котором стоит обозначающая его цифра. Единственным существенным отличием служило то, что вместо 60 в качестве основы майя использовали 20, с остатками более ранней десятеричной системы. Как и вавилонянам, им требовался ноль, чтобы определять, что какая цифра значит. Для пущего интереса майя пользовались цифрами двух типов: простой основывался на точках и черточках, более сложный — на глифах, гротескных лицах. Нетрудно воочию убедиться, насколько странно сейчас выглядят цифры майя (рис. 3 ).
Рис. 3: Цифры майя
Как и египтяне, майя создали превосходный солнечный календарь. Поскольку их система счета основывалась на числе 20, майя, естественно, разделили год на 18 месяцев, по 20 дней каждый, что в сумме давало 360 дней. Особый период из пяти дней в конце года, называвшийся «уайеб», доводил общее количество до 365. В отличие от египтян, впрочем, майя включали в свою систему счета ноль, так что делали очевидную вещь: начинали отсчет дней с ноля. Первый день месяца — Зип, например, обычно именовался «установление» или «посадка» Зип. Следующим днем было 1 Зип, за ним следовало 2 Зип и так далее, пока не доходило до 19 Зип.
Потом наступала «посадка» Зоц — 0 Зоц; дальше следовало 1 Зоц и так далее. Каждый месяц имел 20 дней, имевших номера от 0 до 19, а не от 1 до 20, как мы делаем сегодня. (Майяский календарь был удивительно сложен. Помимо солнечного календаря, существовал ритуальный, состоявший из двадцати недель, по тринадцать дней каждая. В соединении с солнечным годом он давал календарный круг, в котором каждый день 52-летнего цикла имел собственное название.)
Майяская система была более осмысленной, чем западная. Поскольку западный календарь был создан во времена, когда ноля не существовало, мы не имеем ни нулевого дня, ни нулевого года. Это, казалось бы, незначительное упущение привело к огромным трудностям: вызвало разногласия по поводу начала тысячелетия. Майя никогда не стали бы спорить о том, является ли первым годом XXI века 2000 или 2001 год. Однако наш календарь создавали не майя, это были египтяне, а позже римляне. По этой причине мы оказались с неудобным, лишенным ноля календарем.
Отсутствие ноля у египтян повредило и календарю, и будущему западной математики. На самом деле египетская цивилизация повредила математике не в единственном отношении. Будущие трудности оказались связаны не только с отсутствием ноля. У египтян был чрезвычайно громоздкий способ обращаться с дробями. Они не думали о 3/4 как об отношении трех к четырем, как мы делаем сегодня; они рассматривали 3/4 как сумму 1/2 и 1/4. За единственным исключением — 2/3 — все египетские дроби записывались как суммы чисел, имеющих вид 1/n (где n — натуральное число), — так называемые дробные единицы. Длинные цепочки этих дробных единиц делали чрезвычайно трудными манипуляции с дробями в египетской (и греческой) системе счисления.
Наличие ноля делает эту громоздкую систему устаревшей. В вавилонской системе, имевшей ноль, записывать дроби было легко. Как мы можем заменить 1/2 выражением 0,5, а 3/4 — 0,75, вавилоняне использовали выражения 0,30 для 1/2 и 0,45 для 3/4 (на самом деле вавилонская шестидесятеричная система даже лучше подходила для записи дробей, чем наша современная десятеричная).
К несчастью, греки и римляне настолько ненавидели ноль, что держались за запись по египетскому образцу и не переходили на вавилонскую систему, несмотря на то, что пользоваться последней легче. Для сложных вычислений, какие, например, нужны для астрономических таблиц, греческая система была такой громоздкой, что математики преобразовывали дробные единицы в вавилонскую шестидесятеричную систему, выполняли вычисления, а затем переводили ответ обратно на греческий лад. Они могли бы избавить себя от многих трудоемких действий (мы все знаем, как надоедает переводить дроби из одного вида в другой). Однако греки так презирали ноль, что отказывались использовать его в своих записях, несмотря на то, что видели, насколько он полезен. Причина этого крылась в том, что ноль был опасен.
Устрашающие свойства пустоты
В начале времен, когда жил Имир,
не было в мире ни песка, ни моря,
земли еще не было и небосвода,
бездна зияла, трава не росла.
Старшая Эдда
Трудно представить себе, что можно бояться числа. Однако ноль был неразрывно связан с бездной — с пустотой. Людей преследовал изначальный страх перед бездной и хаосом, а также и перед нолем.
Древние народы верили, что до возникновения Вселенной существовали только пустота и хаос. Древние греки утверждали, что сначала матерью всего была тьма, а из тьмы возник хаос. Тьма и хаос породили остальную Вселенную. Еврейские предания о сотворении мира говорят, что земля была в состоянии хаоса и пустоты, пока Бог не пролил свет и не придал ему его свойства. На иврите это выражается так: tohu v’bohu . Роберт Грейвз связывает tohu с Техомотом, доисторическим семитским драконом, свидетелем рождения Вселенной, тело которого стало небом и землей. Bohu связывалось с Бегемотом, знаменитым чудовищем из еврейских легенд. Согласно древнеиндийской традиции, Создатель сбивал масло из хаоса и превратил его в землю, а северный миф рассказывает о том, как открытая бездна покрылась льдом, а из хаоса, порожденного смешением огня и льда, возник первобытный великан. Пустота и беспорядок были изначальным естественным состоянием космоса, и всегда существовал грызущий страх перед тем, что в конце времен беспорядок и бездна воцарятся снова. Ноль олицетворял собой эту бездну.
Однако страх перед нолем коренился глубже, чем страх бездны. Для древних математические свойства ноля были непостижимы, столь же окутаны тайной, как и рождение Вселенной. Причина этого крылась в том, что ноль отличается от всех остальных чисел. В отличие от других цифр в вавилонской системе, нолю никогда не позволялось стоять в одиночку — и не без основания. Оказавшись сам по себе, ноль ведет себя странно, по крайней мере не так, как остальные числа.
Если прибавить число к самому себе, оно изменится. Один плюс один — уже не один, а два. Два и два дают четыре. А вот ноль плюс ноль есть ноль. Это нарушает основной принцип счисления, называемый аксиомой Архимеда и говорящий, что если прибавлять число к самому себе достаточное количество раз, результат превзойдет по величине любое другое число. (Аксиома Архимеда была сформулирована в терминах площадей; число рассматривалось как разница между двумя неравными площадями.) Ноль же отказывается увеличиваться. Он также отказывается увеличивать любое другое число. Сложите два и ноль, и вы получите два; дело выглядит так, словно вы и не складывали ничего. То же самое происходит и при вычитании. Отнимите ноль от двух, и вы получите два. Ноль не имеет реальности. Однако это лишенное реальности число угрожает нарушить простейшие математические операции, такие как умножение и деление.