Страница 32 из 37
2. Число 0 является элементом тождественности множества для сложения, поскольку от его прибавления ничего не меняется. Кроме того, число 1 является элементом тождественности, когда мы переходим к умножению и делению чисел.
7. Осознание мнимых чисел
Следующая великая эра пробуждения человеческого интеллекта вполне может создать метод понимания качественного содержания уравнений. Сегодня мы этого не можем.
Продолжая наше путешествие через числовые поля, мы обнаружили, что числа описывают взаимодействия осознания между наблюдателем и вещами, которые он наблюдает, находятся ли эти вещи в его внешнем или внутреннем мире. В главе 6 мы изучали поля и видели, что все положительные и отрицательные числа вместе образуют поле, поскольку они имеют замыкание. Иными словами, вы можете складывать, вычитать, умножать и делить и по-прежнему оставаться в том же поле. Мы обнаружили, что математика описывает не только то, как можно считать внешние события, но и то, как наши умы усиливают и углубляют события, создают пространство и развертывают переживания.
В этой главе нам предстоит добавить к полю действительных чисел еще одно измерение – измерение мнимых чисел. Для некоторых читателей это будет означать первую встречу с разновидностью чисел, о которой они раньше никогда не слышали, – с комплексными числами, которые представляют собой сочетание действительных и мнимых чисел.
Мнимые числа
Если бы мы жили несколько тысяч лет тому назад, мы бы, несомненно, предсказали открытие мнимых чисел, поскольку действительные числа – это лишь принадлежащие к общепринятой реальности варианты того, что мы переживаем, когда наблюдаем и считаем. Если бы мы жили в далеком прошлом и понимали, что числа символизируют не только явные процессы, но и тонкие процессы, которые не выявляются непосредственно, мы бы, вероятно, подумали, что нам необходимо новое описание событий, которое включает в себя действительные числа, а также что-то наподобие «воображаемых» чисел, чтобы описывать аспекты событий, относящиеся как к ОР, так и к НОР.
После открытия мнимых чисел в XVI и XVII вв. оказалось, что эти числа не настолько мнимые, как первоначально думали математики, однако эти числа все-таки дают нам понимание НОР-аспектов природы и, конечно, нашей собственной природы. Более того, нам очень важно исследовать эти числа, так как они образуют основу описания квантовой физики и теории относительности. Современная физика не может существовать без мнимых чисел.
Числа и числовые системы постепенно развивались на протяжении многих тысячелетий. Сперва появились идеи счета и чисел, затем такие современные понятия, как действительные положительные и отрицательные числа, ноль и дроби. За ними последовали рациональные и иррациональные числа1.
Как видно из терминов «рациональный» и «иррациональный», открытие чисел с самого начала осложнялось вопросом о том, откуда происходят эти удивительные символы и что они собой представляют. Когда в эпоху Возрождения Готфрид Лейбниц и другие разрабатывали мнимые числа для решения проблем в математике, понятие мнимых чисел также считалось бесплотным. Мнимые числа сравнивали с духами: они присутствовали, но их было невозможно увидеть.
Позвольте мне познакомить вас с мнимыми числами. Вспомните, что ряд действительных положительных чисел 1, 2, 3, 4… не был достаточно большим числовым полем, чтобы включать в себя вычитание, поскольку в поле положительных чисел нельзя было найти такие числа, как 5 – 7 (= -2). Если мы добавляем отрицательные числа, то имеем более полное числовое поле: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 и т. д. На этом большем поле мы теперь можем играть с вычитанием, а также сложением, умножением и делением. Отрицательные числа добавили к положительным числам новое измерение.
Вскоре стало понятно, что в дополнение к действительным и отрицательным числам необходимо новое измерение. Почему? Потому что теперь можно было складывать, вычитать и делить и по-прежнему находиться в числовом поле, но было нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа и оставаться в этом поле. Никто не знал, что представляет собой квадратный корень из -4. Математики знали, что квадратный корень из 4 – это число 2 (то есть V4 = 2), но что такое квадратный корень из -4? Какое число, умноженное на само себя, дает -4? Чтобы решить эту проблему, математики думали о добавлении мнимых чисел к действительным числам.
Формальный способ записи мнимых чисел состоит в помещении после действительного числа буквы i [12]. Например, если действительное число 4 написать как 4i, то оно будет обозначать мнимое число.
Буква i имеет следующий смысл: она символизирует квадратный корень из -1 (то есть √ -1). По-другому можно сказать, что квадратный корень из -1 сокращенно обозначается буквой i. Таким образом, √ -1 = i.
Например, если b – действительное число, тогда соответствующее ему мнимое число можно записать как ib, что является сокращенной формой (√ -1)b.
Первые математики, которые разрабатывали и использовали мнимые числа в XVII в., полагали, что мнимые числа нереальны и невозможны. Как может отрицательное число иметь квадратный корень? Храбрецом, который первым опубликовал формулу, включавшую в себя таинственные мнимые числа, был итальянский математик XVI в. Джером Кардан. Однако он испытывал большие сомнения в отношении своей работы и называл числа бессмысленными, фиктивными и мнимыми2.
Что же в действительности представляют собой мнимые числа? Вспомните, что действительные числа кодируют, но маргинализируют переживания НОР Многие из конкретных и наблюдаемых свойств вещей, которые мы считаем, не учитываются действием простого счета. Из-за процесса маргинализации, действительных чисел никогда не будет достаточно для полного описания событий, поэтому в математике, наряду с общепринятыми количествами, вроде 1, 2 и 3, нам требуется нечто вроде воображаемых или необщепринятых качеств. Будучи полезными, мнимые числа также указывают назад, на магические качества, которые люди нередко ассоциируют с числами.
Магия чисел
Сегодня, хотя большинство людей мало знают о свойствах чисел, относящихся к необщепринятой реальности, многие до сих пор верят, как и столетия назад, что числа обладают магическими свойствами. Точно так же, как мы используем особые геометрии, чтобы строить здания, например, с высокими остроконечными крышами, а также кресты, звезды и круги, чтобы представлять духовные идеи, древние и некоторые современные люди верили в магическую силу отдельных чисел. Например, считалось, что число 1 представляет единение, многие люди отождествляли число 2 с дьяволом или «двуличным», число 3 с судьбой (или Троицей в христианском мире), число 4 с целостностью и так далее3.
Эти верования отчасти связаны с количественными свойствами чисел. Например, число 1 не становится больше при умножении на само себя и не становится меньше при делении на себя. Вывод: число 1 обладает богоподобными свойствами. Оно является вечным, неизменным. Оно «одно единственное». Я говорил, что число 1 представляет сам процесс, нечто всегда присутствующее, постоянное как неизбежность изменения. Один – это первое простое число.
Простое число не имеет сомножителей, кроме самого себя и единицы. Например, число 6 не является простым, так как оно делится на 2 и 3 (или может быть получено умножением 2 х 3). То есть число 6 имеет сомножители (или делители), отличающиеся от него самого, а именно 2 и 3. Другие простые числа, кроме единицы, – это 2, 3, 5, 7, 11 и так далее и -2, -3, -5 и так далее.
Подумаем о числе 2. Это простое число, поскольку оно может быть разбито только на множители 1 х 2. Число два интересно тем, что оно дает одно и то же число при сложении с собой и умножении на себя, то есть 2 + 2 = 2 х 2 = 4. Легко видеть как можно проецировать на число 2 всевозможные магические или какие-то еще удивительные качества. Другие числа при сложении с собой дают другие результаты, чем при умножении на себя. Но не двойка
12
То есть первой буквы прилагательного imaginary, означающего «воображаемый» или «мнимый». (Примеч. пер.)