Слепой геометр

Осознание же принципов математики позволило мне обрести силу, которой раньше так не хватало, силу, действенную не только в мире абстракций, но и в реальности. Помню, я запрыгал от восторга, а потом, под веселый смех отца, кинулся к себе в комнату и принялся составлять колонки, прямые, как грань линейки, и складывал, складывал…

А. Ах да, позвольте представиться. Карлос Олег Невский. Мать мексиканка, отец русский, военный советник. Родился в Мехико в 2018 году, на три месяца раньше срока — мать во время беременности заболела коревой краснухой. Результат: почти полная слепота (почти — потому что я отличаю темноту от очень яркого света). До пяти лет жил в Мехико, затем отца перевели в российское посольство в Вашингтоне. С тех пор лишь изредка покидал округ Колумбия. Родители развелись, когда мне было десять, а через три года мать уехала обратно в Мехико. До сего дня не могу догадаться, что их оттолкнуло друг от друга: они выясняли отношения вне пределов слышимости. Однако этот случай приучил меня к осторожности.

С 2043 года — профессор математики в университете Джорджа Вашингтона.

ОА. Холодным весенним днем, отправившись за второй чашечкой кофе, я столкнулся в факультетской столовой, где обычно никто не задерживается, с Джереми Блесингеймом.

— Привет, Карлос. Как дела?

— Замечательно, — отозвался я, шаря рукой по столу в поисках сахарницы. — А у вас?

— Тоже неплохо. Правда, мне тут задали одну задачку… Крепкий оказался орешек.

Джереми работал на Пентагон (что-то, связанное с военной разведкой), однако предпочитал не распространяться о своей деятельности, а я, разумеется, никогда не спрашивал.

— Да? — проговорил я, зачерпнув ложкой сахарного песку.

— Понимаете, речь идет о коде. Думаю, это вас заинтересует.

— Я не силен в криптографии.

В шпионских головоломках математики, как правило, раз-два и обчелся. Я принюхался и уловил аромат сахара, растворяющегося в дрянном кофе.

— Знаю, но… — в голосе Джереми послышался намек на раздражение. Естественно, как определить, слушаю я или нет? (Безразличие — разновидность самоконтроля). — Возможно, что это геометрический код. Дело в том, что одна подследственная рисует чертежи.

Подследственная? Ну и ну! Несчастный шпион, который что-то там царапает в своей камере…

— Я принес один из чертежей. Знаете, я сразу вспомнил о теореме, которую вы обсуждали в своей последней статье. Может, это проекция?

— Да?

— Да. Вдобавок, чертежи, как нам кажется, имеют какое-то отношение к ее речи. Она путает порядок слов, употребляет их как попало…

— Что с ней случилось?

— Ну… Пожалуйста, вот чертеж.

— Хорошо, посмотрю, — сказал я, протягивая руку.

— В следующий раз, когда вам захочется кофе, попросите меня. В моем кабинете стоит кофеварка.

— Договорились.

АВ. Полагаю, всю свою жизнь я задумывался над тем, что такое «видеть». Моя работа, несомненно, представляла собой попытку рассмотреть вещи внутренним зрением. Я видел «через чувства». Через язык, через музыку и, прежде всего, через геометрические правила. Со временем определились наилучшие способы «видения»: по аналогии с прикосновением, со звуком, с абстракциями. Понимать — познать геометрию во всех ее подробностях, чтобы надлежащим образом воспринимать физический мир, доступ в который открывает свет; в итоге обнаруживаешь нечто вроде платоновских идеальных форм, что скрываются за видимыми явлениями. Порой звон понимания заполнял все мое естество, и мне казалось, что я должен видеть, именно должен. Я верю, что вижу.

Но когда приходится переходить улицу иди искать ключи, которые лежат не на месте, от геометрии толку мало, и ты вновь вынужден пользоваться вместо глаз ушами и руками, после чего в очередной раз сознаешь, что видеть, увы, не видишь.

ВС. Попробую объяснить иначе. Проективная геометрия появилась в эпоху Ренессанса, к ней прибегали художники, заново заинтересовавшиеся перспективой, чтобы справиться с трудностями изображения на холсте трехмерного пространства. Так геометрия быстро стала изящной и могучей математической дисциплиной. Выразить ее суть не составит труда.

Геометрическая фигура на рисунке проецируется из одной плоскости в другую (мне говорили, что свет точно так же проецирует на стену картинку слайда). Заметьте, что, хотя некоторые параметры треугольника АВС — длина сторон, величина углов

— в треугольнике А'В'С" меняются, прочие остаются неизменными: точки по-прежнему точки, линии — линии; кроме того, сохраняются и отдельные пропорции.

Теперь вообразите, что видимый мир — треугольник АВС (метод редукции). Представьте, что он проецируется внутрь себя, на что-то иное, не На плоскость, а, скажем, на лист Мебиуса или на бутылку Клейна, или же, как в действительности, на более сложное пространство с весьма любопытными, уверяю вас, свойствами. Треугольник утратит ряд характеристик — к примеру, цвет, — но кое-что и сохранит. Так вот, проективная геометрия — искусство определения: какие характеристики, какие качества «пережгли» трансформацию…

Понимаете?

Способ познания мира, образ мышления, философия, выражение своей сущности. Видение. Геометрия для одного человека. Разумеется, неевклидова, точнее — чисто невскианская, предназначенная помогать мне проецировать зрительное пространство в слуховое, в осязательное, в мир внутри.

ОА. Когда мы снова встретились с Блесингеймом, он тут же спросил, что я думаю насчет чертежа. (Возможна как акустика, так и математика эмоций: уши слепых выполняют подобные вычисления каждый день; я сразу почувствовал, что Джереми волнуется.)

— Одного чертежа недостаточно. Вы правы, он смахивает на простую проекцию, однако там присутствуют странные поперечные линии. Кто знает, что они означают? Вообще же впечатление такое, что рисовал ребенок.

— Она не так уж молода. Принести еще?

— Что ж… — признаться, я был заинтригован. Новоявленная Мата Хари в пентагоновской темнице рисует геометрические фигуры и отказывается говорить иначе как загадками…

— Держите. Я на всякий случай захватил с собой. По-моему, тут можно проследить некую последовательность.

— Было бы куда проще, если бы я мог поговорить с этой вашей чертежницей.

— Не думаю. Хотя, — прибавил он, заметив мое раздражение, — если хотите, я, наверное, смогу ее привести.

— Чертежи можете оставить.

— Отлично, — в голосе Джереми слышалось не только облегчение: напряжение, торжество, страх и предвкушение… чего-то. Нахмурившись, я забрал у него чертежи.

Позднее я пропустил листы через специальный ксерокс, который выдавал копии с выпуклым текстом, и медленно провел пальцами по линиям и буквам.

Должен признаться: большинство геометрических чертежей не имеет для меня ни малейшей ценности. Если вдуматься, легко понять почему: это двухмерные представления о том, на что похожи трехмерные конструкции. То есть такие чертежи для слепого бесполезны, только запутывают. Скажем, я чувствую трапецоид; что он означает — именно трапецоид или какой-то прямоугольник, не совпадающий с листом, на котором изображен?

Или общепринятое представление плоскости? Ответ содержится лишь в описании чертежа. Без описания я могу всего-то навсего предполагать, что такое одна или другая фигура. Куда проще с трехмерными моделями, которые можно и ощупать руками.

Но сейчас приходилось действовать по-иному. Я провел ладонями по запутанному узору линий, несколько раз прочертил его специальной ручкой, определил наличие двух треугольников, углы которых соединялись прямыми, и линий, что продолжали в одном направлении стороны фигур. После чего попытался установить, какая из набора трехмерных моделей подходит к чертежу. Попробуйте как-нибудь сами и наверняка поймете, сколь велико бывает порой умственное напряжение. Проективное воображение…

Ну и ну! Чертеж походил на весьма приблизительное геометрическое представление теоремы Дезарга.

С. Теорема Дезарга — одна из первых, выведенных непосредственно для проективной геометрии. Ее доказал в середине семнадцатого века Жерар Дезарг, отвлекшись на время от архитектуры, механики, музыки и многого другого. Она сравнительно проста, а применительно к трехмерной геометрии даже банальна. Суть теоремы показана на рисунке 1; если хотите, можете вернуться к нему. Она гласит, что при том положении, какое изображено на чертеже, точки Р, О и Е. лежат на одной прямой. Доказательство на деле весьма простое. По определению, течки Р, О и К находятся на той же плоскости m, что и треугольник АВС, и одновременно на плоскости m', как и треугольник А'В'С". Две плоскости могут пересекаться в одной-единственной линии, а поскольку Р, О и К находятся в обеих плоскостях, они должны лежать на этой линии пересечения. То есть на одной прямой, что и требовалось доказать.