Страница 16 из 17
Системы координат.
Обычно для описания пространства используется наиболее простая система координат, называемая прямоугольной. Её ещё называют декартовой по имени французского учёного Рене Декарта, который впервые предложил её в 1637 г. (рис. 33, 34). В этой системе определяется точка, которая называется началом координат или точкой отсчёта.
Рис. 33. Рене Декарт
Рис. 34. Декартова система координат
В этой точке пересекаются три взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых называется осью абсцисс, или осью х, вторая – осью ординат (осью у), а третья – осью аппликат (осью z). Очевидно, что в том пространстве, где мы обитаем, большее число взаимных перпендикуляров построить невозможно. Поэтому наше пространство называют трёхмерным. В физике и математике часто рассматриваются пространства с большим числом измерений: от четырёхмерного пространства-времени Минковского до пространств, имеющих бесконечное число измерений в квантовой физике. Однако наглядно представить себе пространство, где имеется больше трёх измерений, невозможно. Можно, наоборот, уменьшить число координат до двух, ограничившись только осями абсцисс и ординат, и получить систему координат на плоскости. Мы уже имели дело с такой системой в § 8, когда знакомились с построением графиков. Полная же система координат, описывающая положение любой точки в пространстве, является трёхмерной. Для того чтобы определить местонахождение этой точки, надо знать три числа, обозначающие проекции[6] этой точки на оси абсцисс, ординат и аппликат (x, у, z). Сумму величин p→=xi→+ yj→+ zk→называют вектором, определяющим положение точки в пространстве. Поскольку оси координат представляют собой бесконечные прямые и каждая из них распространяется в обе стороны от начала координат, то x, y и z могут иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве определяют с помощью теоремы Пифагора. Глядя на рисунок, можно легко убедиться в том, что на плоскости расстояние между двумя любыми точками равно:
√¯х2+ y2,
а в пространстве:
√¯x2 + у2 + z2.
В некоторых случаях используют не прямоугольные, а другие системы координат, например цилиндрическую и сферическую. Цилиндрическая система строится следующим образом. Допустим, нам нужно определить положение точки М (рис. 35, А). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и R – расстояние от точки М до координатной оси Oz.
Рис. 35. Цилиндрическая (А) и сферическая (Б) системы координат
Тогда одной из координатных поверхностей (R = const), проходящих через точку М, является цилиндрическая поверхность вращения с осью Oz и радиусом R (поэтому координаты точки М называются цилиндрическими). Если при этом 0 – угол, который плоскость, проходящая через точку М и координатную ось Oz, образует с координатной плоскостью Oxz, то цилиндрическими координатами точки М является упорядоченная тройка чисел (R; θ; Z), где Z – проекция М на ось Oz.
Сферическая система координат используется в астрономии и навигации. Для определения положения точки необходимо знать её расстояние от начала координат – центра сферы (т. е. радиус сферы) и два угла (рис. 35, Б). Попробуйте сами построить такую систему, воспользовавшись приведённым рисунком.
Согласно современным представлениям, пространство является однородным, т. е. при всех прочих равных условиях, например при действии одинаковых сил, все физические процессы протекают одинаково в любой точке пространства.
Другим свойством пространства является его изотропность, или изотропия, – отсутствие в пространстве какого-либо выделенного направления. Во Вселенной нет «верха и низа» или «права и лева». Если любую систему повернуть на любой угол, никакие физические процессы в ней не изменятся. Некоторые законы механики основаны именно на том, что пространство обладает свойством изотропности.
1. Кем была создана первая геометрия?
2. Как называются оси в декартовой системе координат?
3. Каким образом можно определить вектор?
4. Что означают понятия «однородность пространства»; «изотропность пространства»?
5. Какая система координат (двух– или трёхмерная) используется при снятии электроэнцефалограммы и электрокардиограммы?
1. Попробуйте построить систему координат, воспользовавшись рисунком в этом параграфе. Укажите в каждой системе координат определённую точку. Обменяйтесь чертежами с одноклассниками. По приведённым чертежам определите координаты заданной точки в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах.
2. Обсудите в классе, почему сферическую систему координат в основном используют в астрономии и навигации.
§ 14 Время и длительность
– А-а! Тогда все понятно, – сказал Болванщик. – Убить Время! Разве такое ему может понравиться! Если б ты с ним не ссорилась, всегда могла бы просить у него всё, что хочешь. Допустим, сейчас десять часов утра – пора идти на занятия. А ты шепнула ему словечко и р-раз! – стрелка побежала вперёд! Половина второго – обед!
Понимание природы времени более сложно, чем понимание пространства. Пространство воспринимается легче потому, что мы можем свободнее в нём ориентироваться, перемещаясь в любом направлении, двигаясь в одну сторону и возвращаясь обратно. Со временем это делать нельзя, временем мы управлять не можем. Во времени что-то появляется, меняется и непременно исчезает. Это последнее обстоятельство всегда вызывало у людей страх и тревогу. В древнегреческой мифологии время олицетворяет божество Кронос, порождающий и пожирающий своих детей. Не будучи способными понять сущность времени, люди часто используют для его описания глаголы, которые на самом деле описывают движение в пространстве неких предметов. Время в нашей речи может «идти», «лететь», «ползти», «проходить» и т. д. Однако время не предмет и в пространстве не передвигается, но за неимением других способов его описания мы уподобляем время движению. Часто приходится слышать, что время – это последовательность событий. Но тогда возникает вопрос: последовательность в чём? Ясно, что не в пространстве. Значит, во времени. Получается, что «время – это последовательность событий во времени». Понятно, что из такого определения многого не извлечёшь.
Из представления о времени как о чём-то схожем с пространством рождаются многочисленные литературные произведения о машине времени (рис. 36), которые пользуются большой популярностью, несмотря на их не только ненаучность, но и просто логическую бессмысленность. Ведь что значит, например, отправиться в будущее? Да ведь мы именно это всю жизнь и делаем. Для того чтобы ехать в будущее, не нужна никакая машина времени. А что будет, если мы поедем в прошлое?.. Допустим, мы попали во вчера. Но ведь мы и были в нём вчера и не знали и не можем знать, что будет завтра, т. е. сегодня. А если отправиться ещё дальше в прошлое, то мы будем делаться всё моложе и моложе, пока не исчезнем в момент своего рождения. А в позапрошлый век мы не попадём, потому что тогда нас не было. Психологической подоплёкой разговоров о машине времени служит бессознательное убеждение в том, что существуют два времени – одно моё собственное, в котором я проживаю свою жизнь, а другое – объективное, или чужое, где существует всё остальное.
6
Напомним, что проекцией точки на ось называют расстояние от начала координат до пересечения оси с перпендикуляром, опущенным на неё из этой точки.