Страница 9 из 88
Горизонт шварцшильдовской чёрной дыры располагается на радиусе Шварцшильда. Хотя Алиса и обречена после его пересечения, тем не менее у неё остаётся, как и у головастиков, немного времени, прежде чем она погибнет в сингулярности. Но сколько именно? Это зависит от размера, то есть от массы, чёрной дыры. Чем больше масса, тем больше шварцшильдовский радиус и тем больше времени в запасе у Алисы. В чёрной дыре с массой Солнца у неё будет всего лишь десять микросекунд. В чёрной дыре, которая располагается в центре галактики и может иметь массу в миллиард раз больше, у Алисы будет миллиард микросекунд, то есть примерно полчаса. Можно вообразить ещё более крупную чёрную дыру, в которой Алиса сможет прожить целую жизнь и, возможно, даже несколько поколений её потомков успеют состариться и умереть, прежде чем их уничтожит сингулярность.
Разумеется, по наблюдениям Боба, Алиса никогда не доберётся до горизонта. Так кто же прав? Достигнет она горизонта или нет? Что реально происходит? И реально ли это? В конце концов, физика — это наблюдательная и экспериментальная наука, так что можно было бы отдать предпочтение надёжным наблюдениям Боба, пусть они и находятся в очевидном противоречии с Алисиным описанием событий. (Мы ещё вернёмся к Алисе и Бобу после того, как обсудим удивительные квантовые свойства чёрных дыр, открытые Якобом Бекенштейном и Стивеном Хокингом.)
Аналогия со стоком хороша для многих целей, но, как и все аналогии, имеет свои границы. Например, когда объект проваливается сквозь горизонт, его масса добавляется к массе чёрной дыры. Рост массы означает расширение горизонта. Это, несомненно, можно смоделировать в аналогии со сточным отверстием, скажем, установив в нём насос для управления потоком. Каждый раз, когда в сток что-то падает, насос должен немного повышать мощность, ускоряя поток и отодвигая точку невозврата немного дальше. Но такая модель быстро теряет свою простоту[26].
Ещё одно свойство чёрных дыр заключается в том, что они сами способны двигаться. Если поместить чёрную дыру в гравитационное поле другой массы, она будет ускоряться, как и любой другой массивный объект. Она даже может упасть в более крупную чёрную дыру. Если попытаться отразить все эти свойства реальных чёрных дыр в аналогии со сточным отверстием, она станет сложнее той математики, применения которой она позволяет избежать. Но, несмотря на эти ограничения, сток — это очень полезное представление, позволяющее понять основные свойства чёрных дыр без овладения уравнениями общей теории относительности.
Несколько формул для тех, кто их любит
Я написал эту книгу для читателей, не склонных к математике, однако для тех, кому по душе немного математических выкладок, здесь приведено несколько формул и пояснён их смысл. Если вам это неинтересно, просто переходите к следующей главе. Это же не экзамен.
Согласно ньютоновскому закону тяготения, каждый объект во Вселенной притягивает все другие объекты, причём сила гравитации пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Это одно из самых знаменитых физических уравнений, оно почти так же широко известно, как и E=m∙c2 (это прославленное уравнение связывает энергию E с массой m и скоростью света c).
В левой части стоит сила F, действующая между двумя массами, такими как Луна и Земля или Земля и Солнце. С правой стороны большая масса M и меньшая масса m. Например, масса Земли 6∙1024 кг, а масса Луны — 7∙1022 кг. Расстояние между массами обозначено D. Расстояние от Земли до Луны составляет около 4∙108 м.
Последнее обозначение в уравнении, G, — это числовая константа, называемая ньютоновой гравитационной постоянной. Эту величину нельзя вывести чисто математически. Чтобы найти её значение, необходимо измерить силу притяжения между двумя известными массами, находящимися на некотором известном расстоянии. Как только это сделано, можно вычислить силу, действующую между любыми двумя массами на любом расстоянии. По иронии судьбы, Ньютон так никогда и не узнал величину своей собственной постоянной. Дело в том, что гравитация так слаба, а величина G, соответственно, так мала, что измерить её не удавалось до конца XIX столетия. К тому времени английский физик Генри Кавендиш разработал хитроумный способ измерения чрезвычайно малых сил. Кавендиш обнаружил, что сила, действующая между парой килограммовых масс, разнесённых на один метр, составляет примерно 6,7∙10−11 ньютона. (Ньютон — это единица силы в метрической системе СИ. Она составляет примерно десятую долю веса одного килограмма.) Таким образом, значение гравитационной постоянной в системе СИ составляет:
G=6,7∙10−11
Изучая следствия из своей теории, Ньютон совершил одно важное открытие, касающееся особых свойств закона обратных квадратов. Когда вы измеряете собственный вес, часть гравитационной силы, тянущей вас к Земле, вызвана массой, находящейся прямо у вас под ногами, ещё часть связана с массой глубоко внутри Земли, а часть составляет вклад масс на противоположной стороне Земли на расстоянии в 12,5 тысячи километров. Но благодаря математическому чуду можно считать, будто вся масса сосредоточена в одной точке непосредственно в геометрическом центре планеты.
Гравитация массивного шара точно такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в его центральной точке
Этот удобный факт позволил Ньютону вычислять скорость убегания от крупного объекта, заменяя его протяжённую массу крошечной массивной точкой. И вот результат:
Эта формула чётко показывает, что чем больше масса и меньше радиус R, тем выше становится скорость убегания.
Теперь уже легко вычислить радиус Шварцшильда. Всё, что нужно для этого сделать, — это подставить скорость света в качестве скорости убегания и затем разрешить полученное уравнение относительно радиуса:
Отметим тот важный факт, что радиус Шварцшильда прямо пропорционален массе.
Вот и всё, что касается тёмных звёзд, по крайней мере на том уровне, который был доступен Лапласу и Митчелу.
3
Недедовская геометрия
В далёком прошлом, когда такие математики, как Гаусс, Бойяи, Лобачевский и Риман[27], ещё не успели всё запутать, геометрия означала евклидову геометрию — ту самую, которую все мы учили в школе. Всё начиналось с планиметрии — геометрии идеально плоской двумерной поверхности. Первичными понятиями были точки, прямые линии и углы. Мы учили, что три точки задают треугольник, если они не лежат на одной прямой, параллельные прямые никогда не пересекаются, а сумма углов любого треугольника равна 180°.
Потом, если курс обучения был таким же, как у меня, вы расширяли свои представления на три измерения. Что-то оставалось таким же, как и в двух измерениях, но что-то менялось, иначе между двумя и тремя измерениями не было бы никакой разницы. Например, в трёх измерениях есть прямые линии, которые нигде не пересекаются, но при этом не параллельны; они называются скрещивающимися.
Как в двух, так и в трёх измерениях законы геометрии остаются теми, что сформулировал Евклид около 300 года до нашей эры. Однако геометрии другого типа — с другими аксиомами — возможны даже в двумерном случае.
26
Профессор Джордж Эллис напомнил мне об одной тонкости, связанной с переменным потоком. В этом случае точка невозврата не совпадает в точности с тем местом, где скорость воды совпадает со скоростью звука. В случае чёрных дыр существует аналогичная тонкая разница между видимым горизонтом видимости и истинным.
27
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), Янош Бойяи (1802–1860), Николай Лобачевский (1792–1856) и Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866).