Страница 79 из 88
Обычное пространство-время имеет четыре измерения — три пространственных и одно временнóе. Физики иногда называют его четырёхмерным, но это скрывает различие между пространством и временем. Более точно описывать пространство-время как (3 + 1) — мерное.
Флэтландия и Аайнландия — это тоже пространственно-временные континуумы. Флэтландия — мир лишь с двумя измерениями пространства, но его обитатели имеют чувство времени. Они должны корректно описывать свой мир как (2+1) — мерный. Лайнландцы, которые могут двигаться только вдоль одной оси, но также ощущают время, живут в (1 + 1) — мерном пространстве-времени. Замечательная особенность размерностей (2+1)и(1 + 1) состоит в том, что мы легко может изображать такие пространства на картинках, что помогает нашей интуиции.
Конечно, ничто не мешает математическим физикам изобретать миры с любым числом пространственных измерений, несмотря на неспособность мозга их визуализировать. Однако интересно, можно ли изменить число временных измерений? В чисто абстрактном математическом смысле ответ — да, но он, похоже, не имеет большого смысла с физической точки зрения. Одно измерение выглядит вполне подходящим значением.
Антидеситтеровские пространства могут быть разной размерности. У них может быть любое число пространственных направлений, но только одно временнбе. То АДС, с которым работали Банадос, Тейтельбойм и Занелли, было (2 + 1) — мерным, что позволяет легко всё объяснить на картинках.
Физика в разных измерениях
Трёхмерное пространство (не пространство-время) — это одна из тех вещей, которая кажется жёстко прошитой в нашей когнитивной системе. Никто не может визуализировать четырёхмерное пространство без опоры на абстрактную математику. Может показаться, что одно- и двумерные пространства изобразить проще, и, в определённом смысле, так и есть. Но если вы на мгновение задумаетесь, то поймёте, что, визуализируя линии и плоскости, вы всегда представляете их вложенными в трёхмерное пространство. Это почти наверняка связано с тем, как эволюционировал наш мозг, и не имеет никакого отношения к особым математическим свойствам трёх измерений[148].
Квантовая теория поля — теория элементарных частиц — столь же осмысленна в мире с меньшим числом измерения, как в трёхмерном пространстве. Судя по всему, элементарные частицы вполне возможны в двумерном пространстве (Флэтландии) и даже в одномерном (Аайнландии). Фактически уравнения квантовой теории поля упрощаются, когда уменьшается число измерений, и многое из того, что мы знаем об этой науке, было первоначально открыто путём изучения квантовой теории поля в подобных модельных мирах. Так что ничего необычного в том, что Банадос, Тейтельбойм и Занелли изучали вселенную всего с двумя измерениями, не было.
Антидеситтеровское пространство
Лучший способ объяснить АДС — тот, что предложил Клаудио во время чилийской автобусной экскурсии: на картинках. Не будем пока думать о времени и начнём с обычного пространства внутри пустой круглой шкатулки. В трёх измерениях её внутренняя область будет сферической; в двух измерения она ещё проще и имеет форму круга.
Теперь добавим время. Когда оно отложено по вертикальной оси, пространственно-временной континуум напоминает внутреннюю область цилиндра. На рисунке АДС — это незакрашенная внутренность цилиндра.
Представим себе срезы АДС (напоминаю, они имеют два измерения) по аналогии с тем, как мы нарезали чёрную дыру при построении диаграммы вложения. Нарезание выделяет сечения, о которых можно сказать, что они именно пространственные.
Давайте изучим двумерный срез немного внимательнее. Как и следовало ожидать, он искривлён в чём-то подобно земной поверхности. Это означает, что, рисуя его на плоскости (на листе бумаги), вы будете растягивать и искажать поверхность. Невозможно нарисовать карту Земли на плоском листе бумаги без серьёзных искажений. Области, близкие к северному и южному краям карты в проекции Меркатора, значительно увеличены сравнительно с областями вблизи экватора. Гренландия выглядит такой же большой, как Африка, хотя в действительности площадь Африки примерно в пятнадцать раз больше.
Пространство (а также пространство-время) в АДС искривлено, но в отличие от земной поверхности его кривизна отрицательна. Растягивание его на плоскости даёт «антимеркаторовский» эффект: области на краях выглядят слишком маленькими. Знаменитый рисунок Эшера «Предел — круг 4»[149] — это «карта» пространства с отрицательной кривизной, которая показывает, как именно выглядит двумерный срез АДС.
Я нахожу «Предел — круг 4» по меньшей мере гипнотическим. (Он напоминает мне бесконечный поиск последней видимой собаки персонажами романа «Мышонок и его отец», см. главу 20.) Ангелы и демоны нескончаемо повторяются, переходя в бесконечный фрактальный край. Заключил ли Эшер сделку с дьяволом, позволившую ему нарисовать бесконечное число ангелов? Или, если я как следует пригляжусь, то смогу заметить последнего видимого ангела?
Задержимся на мгновение для перепрошивки своих представлений: вам должно стать видно, что все ангелы и демоны имеют одинаковые размеры. Это не просто маленькое ментальное упражнение, оно помогает запомнить, что Гренландия почти в точности равна по размерам Аравийскому полуострову, несмотря на то что в проекции Меркатора выглядит в восемь раз крупнее. По-видимому, в голове у Эшера эти ментальные упражнения были прошиты очень хорошо, но, попрактиковавшись, вы тоже смажете приобрести такой навык.
Теперь добавим время и сведём воедино всю картину антидеситтеровского пространства. Как обычно, отложим время по вертикальной оси. Каждый горизонтальный срез представляет собой обычное пространство в определённый момент. Рассматривайте АДС как бесконечное число слоёв пространства — тонкую нарезку бесконечной салями, — которая, будучи сложена в стопку, образует пространственно-временной континуум.
Пространство в АДС причудливо искривлено, но не более чем время. Напомню, что, как мы узнали в главе 3, часы, находящиеся в разных местах, согласно общей теории относительности, часто идут в разном темпе. Например, замедление хода часов вблизи горизонта чёрной дыры позволяет использовать её в качестве машины времени. Часы в АДС тоже ведут себя странно. Представьте, что у каждого эшеровского демона есть наручные часы. Если ближайшие к центру демоны оглянутся на своих чуть более далёких соседей, они заметят нечто странное: часы у тех идут примерно вдвое быстрее. Если предположить, что у демонов есть метаболизм, то у внешних соседей обмен веществ тоже будет протекать быстрее. Каждый следующий ряд будет быстрее предыдущего, пока вблизи границы часы не станут идти так быстро, что для центральных демонов всё сольётся в кружащийся туман.
Кривизна пространства-времени в АДС создаёт гравитационное поле, которое притягивает объекты к центру, даже если там ничего нет. Одно из проявлений этого призрачного гравитационного поля состоит в том, что если массу сместить в сторону границы, её будет тянуть назад, почти как если бы она была на пружине. Предоставленная самой себе масса будет бесконечно колебаться вперёд и назад. Другой эффект, по сути, является оборотной стороной медали: притяжение к центру ничем не отличается от отталкивания границей. Это отталкивание — непреодолимая сила, которая удерживает всё, включая чёрные дыры, от соприкосновения с границей.
148
Может ли физический мир быть одно- или двумерным (я имею в виду пространство, не пространство-время)? Я твёрдо не знаю — нам известны не все принципы, от которых это может зависеть, — но с математической точки зрения квантовая механика и специальная теория относительности остаются столь же непротиворечивыми в одном и двух измерениях, как и в трёх. Я не утверждаю, что в этих альтернативных мирах может существовать разумная жизнь, а лишь говорю, что некоего рода физика в них возможна.
149
Полное название рисунка Эшера: «Предел — круг 4 (Рай и Ад)»; по-английски: Circle Limit IV (Heaven and Hell). — Прим. перев.