Страница 46 из 52
13
10. Аристотель. Аналитики первая и вторая. [М.], 1952, с. 14—15 (см. также примечения к русскому переводу с. 293).
14
11. Я. Лукасевич. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. Перев. с англ. М, 1959, с. 189, Ян Лукасевич в данной книге (вышедшей на англ. языке в 1951 г.) систематически исследовал силлогистику Аристотеля с позиций современной математической логики.
15
12. Аристотель создал не только силлогистику — в его трудах мы находим исследование дедуктивного метода (о котором речь пойдет в дальнейшем), логических модальностей (им изучалась логика рассуждений, в которых существенную роль играют модальные выражения «необходимо, что...», «возможно, что...», «невозможно» что...» и т. п.), определений, простейших обобщающих (индуктивных) умозаключений, аналогии, логических ошибок и до.
16
13. L. Falmar. Foundations of Mathematics, wether now? - "Problems of the Philosophy of Mathematics" (Proceedings of the International Colloquiumin the Philosophy of Science, London, 1965, vol.1) Amsterdam, 1967, p.188. Из работ А. Сабо, обосновывающих этот тезис, укажем: А. Сабо. О превращении математики в дедуктивную науку и начале ее обоснования.— В кн.: Историко-математические исследования. Вып. XII. М., 1959.
17
14. О влиянии логико-методологических идей Аристотеля на древнегреческую математику см. С. А. Яновская. Из истории аксиоматики.— В кн.: С. А. Яновская. Методологические проблемы науки. М., 1972.
18
1. Дж. Свифт. Сказка бочки. Путешествия Гулливера. М., 1976, с. 293-294.
19
2. См. Ф. Рабле. Гаргантюа и Пантагрюэль. М., 1973, книга вторая, глава VIII (она содержит письмо Гаргантюа, в котором он рекомендует своему сыну Пантагрюэлю оставить без внимания астрологию и искусство Луллия как «науки пустые и лживые»).
20
3. В трактате «О достоинстве и преумножении наук» (1623) Ф. Бэкон сравнивал «искусство Луллия» с лавкой старьевщика, «где можно , найти множество тряпья, но нельзя найти ничего, что имело бы хоть какую-нибудь ценность» (Ф. Бэкон. Сочинения. В 2-х т.. т. 1. М., 1971, с. 349.
21
4. Предупреждаем, впрочем, что «искусство» Луллия было гораздо сложнее, чем может показаться из приведенного выше его краткого описания. Например, в его комбинаторике нашли свое место даже вопросительные предложения (заметим в этой связи, что логика вопросительных форм и по сей день остается мало разработанной). Читателя, желающего подробнее ознакомиться с логикой Луллия и его школы, мы отсылаем к книгам: В. Владиславлев. Логика. Обозрение индуктивных и дедуктивных приемов мышления и исторические очерки: логики Аристотеля, схоластической диалектики, логики формальной и индуктивной. Спб, 1881; Н. И. Стяжкин. Формирование математической логики. М.. 1967; М. Gardner. Logic Machines and Diagrams. New York - Toronto - London, 1958.
22
5. Большинство лейбницевых текстов логического содержания было впервые издано в 1901 и 1903 гг. Луи Кутюра. Впрочем, научное наследство Лейбница еще полностью не опубликовано; как отмечает И. С. Нарский в книге «Западноевропейская философия XVII века» (М., 1974, с. 281), в ганноверском архиве Лейбница хранится около 75 тысяч отдельных его работ.
23
6. По словам Б. Рассела, «есть две системы философии, каждую из которых можно рассматривать как представляющую взгляды Лейбница: одна, которую он открыто провозглашал, была оптимистической, ортодоксальной, фантастической и мелкой; другая, которую постепенно извлекали из его рукописей относительно недавние издатели, была глубокой, ясной, ... удивительно логичной» (Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, с. 600).
24
7. О жизни и научном творчестве Лейбница в интересующей нас области см. книгу Н. И. Стяжкина, указанную в примечании 4. Философские взгляды Лейбница подробно освещены в книге И. С. Нарского, упомянутой в примечании 5. Облик Лейбница как ученого и человека обрисован в книге: И. Б. Погребысский. Готфрид Вильгельм Лейбниц. 1646—1716. М., 1971.
25
8. G.W. Leibniz. Fragmente zur Logik. Berlin. 1960, S. 16.
26
9. Там же.
27
10. Н. Винер. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. Второе издание. М., 1968, с. 57.
28
11. Н. Винер. Кибернетика и общество. М., 1958, с. 32—33.
28
12. И.Слешинский. Логическая машина.— «Вестник опытной физики и элементарной математики». Одесса, 1893, № 175 (7).
29
13. Цитируется по статье: А. И. Берг. Кибернетика и общественные науки.— В кн.: Методологические проблемы науки. Материалы заседания Президиума Академии наук СССР. М., 1964, с. 260. О машине Джевонса в России, усовершенствованной известными физико-химиками П. Д. Хрущевым и А. Н. Щукаревым, см.: В. А. Велигжанин, Г.Н. Поваров. К истории создания логических машин в России.-«Вопросы философии», 1971, № 3.
30
14. Ст. Джевонс. Основы науки. Трактат о логике и научном методе. Спб, 1881, с. 2. В этой книге читатель найдет подробное и очень доступное изложение алгебры логики Джевонса — теории, в которой впервые в логике фактически присутствовало то, что ныне называется булевой алгеброй (см. следующую главу). В нашем изложении мы несколько изменили символику Джевонса, приблизив ее к современной. Примеры, которыми мы оперируем, принадлежат Джевонсу.
31
15. Операция пересечения двух произвольных классов (множеств) — это операция, порождающая такой класс — его обычно обозначают А ∩ В или просто AВ, как в нашей записи, который состоит из элементов, входящих как в класс A, так и в класс В. В дальнейшем будут использоваться также понятия объединения двух классов и дополнения к классу. Операцией объединения произвольных классов A и В называется операция, порождающая такой класс (он обозначается через A ∪ В), который состоит из элементов, входящих хотя бы в один из классов: в A или в В.
Операция взятия дополнения к произвольному классу A (до некоторого объемлющего универсального класса, или универсума, V) есть операция, порождающая класс, состоящий из всех тех и только тех) элементов универсума, которые не входят в класс А; дополнение к А обозначается через A' или -A. Заметим, что операции пересечения и объединения классов обладают свойством коммутативности (перестановочности, симметричности), то есть А ∩ В = В ∪ А, А ∪ В = В ∩ А (это свойство используется ниже в примере 3).
32
16. Действительно, по закону исключенного третьего:
A = AB ∪ AB' = ABC ∪ ABC' ∪ AB'C ∪ AB'C', A' = A'B ∪ A'B' = А'ВС ∪ А'ВС' ∪ AВ'С ∪ А'В'С' но, как очевидно, A ∪ A' = V.
33
1. G. Вооlе. The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge and London, 1847; G. Вооlе. An Investigation of the Laws of Thought. London, 1854.