Страница 56 из 110
к их линейной комбинации — обобщенным импульсам
которые он впервые ввел в «Мемуаре о вариации произвольных постоянных в вопросах механики» (1809). В «Курсе механики» он использует это новое соотношение в виде
Многие вопросы статики и динамики разработаны в нем в виде, удобном для приложений.
«Курс механики» неоднократно переиздавался, и в него были введены разделы, посвященные прикладной механике. В частности, в издание 1833 г. включен раздел, посвященный механике машин «О применении принципа живых сил к вычислению движения машин», в котором Пауссон рассматривает построение уравнения движения машины в общем виде. «Машины, по его определению, суть приспособления или системы твердых тел, предназначенные для переноса сил от одной части этих приспособлений к любой из иных частей». Заметим, что до Пуассона вопросами механики машин обычно занимались представители геометрического направления в механике, а представители аналитического направления обходили их стороной. Пуассон впервые применил аналитические методы к разработке подобных прикладных проблем, и в этом смысле его «Курс механики» явился одним из камней, заложенных в фундамент прикладной механики. Труды Пуассона, и в частности «Курс механики», на котором было воспитано не одно поколение французских ученых, сыграли значительную роль в развитии многих узловых проблем механики.
Закончим наш краткий обзор следующим диалогом Лагранжа с Пуассоном. «Я стар, — сказал однажды Лагранж Пуассону, — во время моих бессонных ночей я развлекаюсь числовыми сравнениями; выслушайте меня, это любопытно. Гюйгенс тринадцатью годами был старше Ньютона; я тринадцатью годами старше Лапласа; Лаплас тридцатью двумя годами старше вас»{178}.
Гениальный Лагранж весьма тонко и деликатно включил Пуассона в число великих творцов механики.
VII.
МЕХАНИКА В XIX ВЕКЕ
РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ
Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из гениальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными разнообразными способностями. В четырехлетнем возрасте он неплохо знал географию и свободно читал литературу на английском языке, а восьми лет овладел итальянским и французским языками, изучал арабский, санскрит и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.
В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити-колледж Дублинского университета, где успешно изучал математические науки и разрабатывал геометрическую оптику, или теорию лучей. В возрасте 22 лет молодой ученый был назначен профессором астрономии колледжа св. Андрея Дублинского университета и королевским астрономом Ирландии. В течение ряда лет он возглавлял также Дублинскую астрономическую обсерваторию и читал лекции по астрономии.
В 1837 г. Гамильтон был избран президентом Ирландской академии наук. Научные заслуги его нашли широкое признание во всем мире. В частности, в 1838 г. он был избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знаменитых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил прежде всего из практических запросов их применения в оптических приборах. В третьем добавлении к этому труду ученый на основании сложных математических вычислений предсказал существование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двухосных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огромный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.
Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый принцип наименьшего действия. Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и названная им «действием», должна иметь некоторое минимальное значение. Несколько позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия был разработан русским ученым М.В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона — Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.
Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики (функция Гамильтона Н) оказалась при довольно широких условиях совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.
Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями, но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.
Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к механике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Якоби и М.В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона — Якоби — Остроградского.
Эта теория является основным достижением аналитической механики XIX в. Поначалу казалось, что ее главное значение в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытие возможности нового геометрического истолкования механических проблем имели принципиальное значение. Во второй половине XIX в. накопление новых фактов и разработка новых методов в аналитической механике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочеталось с новыми течениями в физике, именно на созданной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.
Английский математик и механик. Гамильтон внес большой вклад в развитие вариационных принципов механики. Построил систему комплексных чисел, так называемых кватернионов
Труды Гамильтона по механике получили высокую оценку. В 1842 г. па ежегодном собрании Британской ассоциации в Манчестере К. Якоби сказал: «Гамильтон — это Лагранж вашей страны». В 1866 г. Тэт охарактеризовал работу Гамильтона по динамике как «крупнейшее дополнение, полученное теоретической динамикой с тех пор, как были достигнуты великие успехи Ньютоном и Лагранжем». В 1835 г. Гамильтон был награжден золотой медалью Английского королевского общества.