Страница 47 из 110
Обратимся к трактату Эйлера по механике. Первый том содержит учение о свободном движении точки.
В главе 1 даются определения и разъяснения основных понятий динамики. Уже здесь используется аппарат исчисления бесконечно малых. Так, среди прочего время движения по дуге траектории s со скоростью с выражается интегралом
(знаки нижнего и верхнего пределов интегрирования в то время не ставились).
Глава 2 трактует о действии сил на свободную точку. Здесь формулируется основная теорема, соответствующая второму закону Ньютона: «Если направление движения точки совпадает с направлением силы, то приращение скорости будет пропорционально силе, умноженной на промежуточек времени и деленной на материю или на величину точки»{149}.
В главе 3 разобраны конкретные задачи: свободное падение тела и прямолинейное движение свободной точки под действием центральных сил, пропорциональных той или иной степени расстояния. В случае, когда центростремительная сила обратно пропорциональна расстоянию от центра, Эйлер выражает время полного падения через знаменитый интеграл
незадолго перед тем исследованный им и названный впоследствии эйлеровым интегралом второго рода.
Глава 4 посвящена разбору задач о прямолинейном движении точки в однородной среде с сопротивлением, пропорциональным какой-либо степени скорости.
В главе 5 Эйлер переходит к плоскому криволинейному движению свободной точки в пустоте. Он разлагает действующую силу на две составляющих — по касательной и по нормали к траектории — и, используя такие же разложения ускорения, получает два уравнения движения. Обширное место отведено движению точки под действием центральной силы, в частности силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Тут Эйлер дает аналитическую переработку посвященных тому же предмету параграфов «Математических начал натуральной философии» Ньютона и закладывает основы последующих работ по небесной механике.
Первый том «Механики» заканчивается главой о криволинейном движении в сопротивляющейся среде. Специальное внимание Эйлер уделяет важному по внешней баллистике случаю, когда сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Задачу эту ранее рассматривали Ньютон, Герман, И. Бернулли, но решение Эйлера отличалось и оригинальностью, и большей полнотой.
Во втором томе «Механики» Эйлер исследует несвободное движение точки, когда, как он выражается, тела встречают препятствия тому, чтобы продвигаться в том направлении, в котором они стремятся двигаться, как, например, маятники. При рассмотрении движения в пространстве он пользуется разложением сил по трем взаимно перпендикулярным направлениям подвижного естественного трехгранника, связанного с точками траектории, т. е. проектированием на касательную, главную нормаль и бинормаль. Это дает соответственно три уравнения движения.
Особое значение в развитии механики и математики имеет последняя глава второго тома о движении точки на данной поверхности, в которой Эйлер развил учение о кривизне плоских сечений поверхностей и о геодезических линиях на поверхности.
«Механика» Эйлера сразу привлекла к себе внимание ученого мира. С высокой похвалой отозвался о ней в письме 6 ноября 1737 г. к автору И. Бернулли. В том же году появилось подробное изложение книги в издававшейся группой немецких ученых «Bibliotheque germanique» (т. 39), а еще год спустя восторженный отзыв был опубликован в лейпцигских «Nova acta eroditorum».
Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил эту науку первым точным выражением принципа наименьшего действия.
Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для каждой физической системы существует некоторая величина, именуемая действием, которая принимает экстремальное значение при действительно происходящем движении. Идея принципа зародилась в оптике. П. Ферма (1601 — 1665) дал в 1662 г. вывод закона преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была подхвачена И. Бернулли, а в 1744—1746 гг. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—1759). Принцип Мопертюи гласит: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным»{150}. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем новые аргументы в пользу существования бога как творца целесообразных законов природы. В случае механического движения Мопертюи понимал под действием величину mvs, т. е. произведение массы, скорости и пути, проходимого телом. Эта величина должна быть минимальна при движении; при покое же, т. е. равновесии, тела должны располагаться так, что если бы они совершили малое движение, то возникшее при этом количество действия было бы наименьшим. Из этих принципов Мопертюи выводил законы рычага и удара.
Математическое выражение принципа Мопертюи было весьма ограниченным. Эйлер самостоятельно пришел к собственной формулировке принципа наименьшего действия в ходе занятий проблемами вариационного исчисления. Уже в конце 20-х годов XVIII в. он приступил к систематической работе в этой новой области математики, успешно продолжив исследования, начатые тридцатью годами ранее Иоганном и Якобом Бернулли. Результаты, полученные Эйлером на протяжении 15 лет и частью публиковавшиеся в записках Петербургской академии, были суммированы в большом трактате «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», вышедшем в 1744 г. В этой работе содержится первая научная формулировка принципа наименьшего действия. Эйлер был уверен в существовании экстремальных законов, характерных для всех физических явлений. И он, подобно Мопертюи, еще соединял это положение с теологическими и телеологическим» соображениями: великий математик был верующим человеком. «Так как, — писал Эйлер, — все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума»{151}. Далее он замечает, что определить подобное свойство «из принципов метафизики a priori» не так легко. Однако, поскольку те же кривые линии можно определить с помощью прямого метода, то, «приложив должное внимание, можно будет заключить о том, что в этих кривых является максимумом или минимумом»{152}. Рассуждения Эйлера привели его к выводу, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, экстремальное значение должен иметь интеграл
или, как писал сам Эйлер, «для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей»{153}. Принцип наименьшего действия оказывается связанным с законом живых сил, а его применение ограничивается случаями, в которых силы имеют потенциал. Публично Эйлер признал первенство Мопертюи в открытии принципа наименьшего действия. На самом деле оба они пришли к своим результатам самостоятельно и одновременно. Но для дальнейшего развития вариационных принципов механики отправным пунктом стал именно принцип Эйлера, применимый к непрерывным движениям и дававший дифференциальные уравнения траекторий, между тем как принцип Мопертюи относится лишь к случаям конечных и мгновенных изменений скорости. Преимущество Эйлера в обосновании и применении принципа признавал сам Мопертюи. На протяжении 1746— 1749 гг. Эйлер написал еще несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, в которых принцип наименьшего действия получил применение к задачам, связанным с действием упругих сил. Больше он в этом направлении не работал, и новое продвижение вперед было достигнуто прежде всего Лагранжем.