Этюды о Вселенной

Невозможно разобраться в запутанной структуре субатомного мира, не пользуясь квантовой механикой, без нее нельзя понять законы симметрии; планы экспериментов составляются на языке квантов. Поэтому не Эйнштейну, а другим, работавшим в другом направлении, удалось достичь определенных успехов в частичном объединении теорий. Среди таких объединенных теорий, созданных в последнее время, особенно важной стала теория Салама и Вайнберга (с участием Глэшоу; свой вклад в развитие этой теории внесли также т'Хоофт, Хиггс и другие), в которой объединяются слабые взаимодействия и электромагнитное поле, а гравитация остается в стороне. в самом ближайшем будущем, несомненно, появятся новые объединенные теории.

В каком смысле развитие физики можно назвать процессом объединения? Типичный пример нам дал Максвелл, объединивший оптику и теорию электромагнитного поля, показав при этом, что свет – это колебания электромагнитного поля. Тот же Максвелл заложил основы для объединения термодинамики и аналитической механики, создав кинетическую теорию газов. Согласно этой теории, тепло представляет собой не особую форму энергии, а всего лишь механическую энергию, беспорядочно распределенную между миллиардами миллиардов частиц, составляющих газ.

Схема Эйнштейна, пожалуй, лучше очерчена и более точна. Эйнштейн был убежден (справедливо, как нам кажется) в том, что описание природы должно быть основано на понятии волны. Хорошо известным примером этого служит как раз электромагнитное поле. Само его название указывает, что это поле состоит из двух составляющих, из полей электрического и магнитного. Вполне законно рассматривать эти два поля как независимые величины, но сам Максвелл интуитивно чувствовал, что они каким-то таинственным образом связаны.

Теперь вспомним специальную теорию относительности и будем рассматривать разных наблюдателей, движущихся равномерно друг относительно друга. Эйнштейн сразу почувствовал исключительную важность того, что один наблюдатель может увидеть смесь электрического и магнитного полей, в то время как другой будет считать это же поле только электрическим, и наоборот. Отсюда и возникает та необходимость объединения, о которой мы говорили раньше. Так что релятивистский вариант теории Максвелла оказался объединенным в упомянутом нами смысле. в этом же смысле можно утверждать, что общая теория относительности объединила силы, казавшиеся несвязанными, например, гравитацию и инерцию, силы тяготения и центробежные.

Кроме самого Эйнштейна попытки создать единую теорию были предприняты еще в 1919 г. математиком Вейлем. Чтобы дать об этом некоторое представление (пусть даже неполное), я расскажу о понятии кривизны в общей теории относительности.

Гауссова кривизна

Применительно к линии на плоскости смысл понятия кривизны очевиден. Так, прямая линия не имеет кривизны, в то время как кривизна окружности постоянна. в общем случае кривизна линии меняется от точки к точке.

Физиков, однако, интересуют не только простые геометрические фигуры. Так, больший интерес вызывает рассмотренный Гауссом случай поверхности в. трехмерном пространстве. Почему? Как известно, кривую линию на плоскости всегда можно выпрямить, не растягивая и не укорачивая ее. Если же взять сферическую поверхность, то какой бы маленький кусок ее мы ни пытались уложить на плоскость, нам все равно пришлось бы его вытянуть, сломать или еще как-то деформировать. Таким образом, сфере присуще особое внутреннее свойство, отличающее ее от плоскости, а именно кривизна, выражающая само геометрическое существо и не зависящая от способа построения сферы в трехмерном пространстве.

Нарисовав треугольник на поверхности Земли, мы обнаружим заметное отличие его свойств от свойств треугольника на плоскости: сумма углов последнего в точности равна 180° (π радиан). Если же начертить треугольник с вершинами на Северном полюсе, в городах Кито (Эквадор) и Либревиль (Габон), то получится треугольник с тремя прямыми углами, сумма которых будет равна 270°!

Такое расхождение не позволяет печатать достоверных земных атласов на плоских листах. Кстати, согласно известной теореме сферической геометрии, сумма внутренних углов треугольника α, β, γ, σменьшенная на 180°, пропорциональна площади треугольника:

α + β + γ – π = Οлощадь / (Радиус сферы)2 = A / R2

В этой формуле все углы берутся в радианах. в случае рассмотренного земного треугольника мы, кстати, имеем

α = β = γ = 90° = π/2

оттуда

A = R2 (3π/2 – π) = πR2/2 = 4πR2/8

Площадь, как мы видим, становится равной одной восьмой всей сферической поверхности. Действительно, треугольник с тремя прямыми углами занимает один октант сферы. Приведенную формулу можно представить в следующем виде:

1 / R2 = (α + β + γ – π) / Площадь

по этой формуле можно вычислить 1/R2, т.е. «гауссову кривизну», зная площадь треугольника и его углы, т.е. величины, которые можно измерить, просто гуляя по Земле, не привлекая никаких сведений о внешнем пространстве.

Все эти представления были обобщены Риманом на случай пространств любой размерности; тогда место величины 1/R2 занимает знаменитый тензор Римана, учитывающий изменение кривизны по всем направлениям.

Кривизна и материя

Выдающаяся идея Эйнштейна состояла в том, чтобы связать эту кривизну с распределением вещества в пространстве. Согласно Эйнштейну, пространство обладает кривизной, а мы до сих пор ее не замечали, потому что она мала и проявляется только через гравитационные эффекты.

Особенно наглядной является картина пространства, предложенная Эддингтоном. Он сравнивал пространство с хорошо натянутым эластичным полотнищем, которое в нормальном состоянии лежит целиком в плоскости. Если положить на полотнище тяжелые шары (символизирующие небесные тела), то оно искривится, изменив при этом свою геометрию. Каждый из двух находящихся рядом шаров стремится скатиться в яму, образованную соседом. Так, через посредство полотнища между шарами появляется сила взаимодействия, аналогичная силе тяготения. Действительно, в общей теории относительности силы тяготения возникают за счет искривления окружающего пространства. Между кривизной пространства и распределением вещества существует соотношение вида 1/R2 = (G/c2)·ρ.

В этой формуле G представляет универсальную гравитационную постоянную, с – скорость света (около 300000 км/с), и G/c2 приблизительно равно 10...27 см/г. Плотность ρ измеряется в граммах на кубический сантиметр, так что правая часть соотношения измеряется в см–2, как и кривизна. Приведенная формула, по существу, представляет собой основной результат, полученный из уравнений поля Эйнштейна (если не считать длинного ряда тензорных индексов, от перечисления которых мы избавим читателя). Плотность воды соответствует кривизне R, равной примерно 100 млн. км. Таков радиус сферы, которую должна заполнить вода (если бы она была несжимаема), чтобы стать гравитационно-нестабильной и коллапсировать в черную дыру.

Параллельный перенос Леви-Чивита

Итальянскому математику Леви-Чивита пришла в голову гениальная идея, как объяснить и описать кривизну. Эта идея оказалась источником разнообразных обобщений и была использована выдающимся французским математиком Картаном.

Проделаем мысленный эксперимент: поместим пушку на Северный полюс и направим ее ствол в сторону г. Кито (Эквадор). Затем перевезем пушку по поверхности Земли в Кито, а из Кито в Либревиль (Габон) (оба города находятся на экваторе), сохраняя во время путешествия ствол пушки параллельным его первоначальному направлению. По прибытии в Либревиль ствол пушки будет направлен вдоль меридиана, т.е. на Юг. Если же мы сразу перевезли бы пушку в Либревиль, то он по прибытии был бы направлен вдоль экватора (в сторону Кито). Итак, результат зависит от конкретного пути, и в нашем случае (речь идет о результате точном и общем) угол между двумя этими направлениями и равен тем 90°, которые добавились к сумме внутренних углов треугольника.