Страница 33 из 53
Существуют два основных способа учесть возможность досрочного исполнения опциона. Во-первых, можно продолжать использовать нескорректированную модель Блэка-Шоулза и рассматривать получившееся значение стоимости в качестве основы или консервативной оценки истинной стоимости. Кроме того, можно попытаться скорректировать стоимость опциона с поправкой на возможность досрочного исполнения. К решению этой проблемы есть два подхода. Первый – это использовать модель Блэка-Шоулза для оценки опциона на каждую потенциальную дату исполнения. Для случая фондовых опционов потребуется провести оценку для каждой «экс-дивидендной» даты и выбрать наибольшее из полученных значений стоимости опциона. Второй подход основывается на использовании модифицированной версии биномиальной модели, позволяющей рассмотреть возможность досрочного исполнения. В этой версии движения цены актива вверх и вниз в каждом периоде можно оценить, отталкиваясь от их продолжительности[32].
Подход 1. Оценка псевдоамериканского опциона
Шаг 1: Определить, когда будут выплачены дивиденды и в каком количестве.
Шаг 2: Оценить опцион на каждую «экс-дивидендную» дату, применяя поправку по дивидендам, описанную выше, когда цена исполнения сокращается на приведенную стоимость ожидаемых дивидендов.
Шаг 3: Выбрать наибольшую стоимость опциона колл, оцененную на каждый день, предшествующий «экс-дивидендной» дате.
Подход 2. Использование биномиальной модели. Биномиальная модель в гораздо большей степени приспособлена для анализа досрочного исполнения опциона, поскольку в ней учитываются денежные потоки в каждом периоде времени, а не только на момент истечения. Самое серьезное ограничение биномиальной модели – это необходимость знать цену в конце каждого периода. Однако его можно преодолеть, используя схему, позволяющую оценивать движения цены на акцию вверх и вниз на основе полученной оценки дисперсии. Реализация данной схемы состоит из четырех этапов.
Шаг 1: Если дисперсия была оценена как ln(коэффициента доходности акции) в модели Блэка-Шоулза, то следует использовать ее в качестве входных данных для биномиальной модели:
Шаг 2: Определить период, в который будут выплачены дивиденды. При этом делается предположение, что цена снизится на величину, равную дивидендам за данный период времени.
Шаг 3: Оценить колл-опцион в каждом узле дерева, допуская возможность досрочного исполнения незадолго до «экс-дивидендной» даты. Произойдет раннее исполнение, если остающаяся временная премия опциона меньше, чем ожидаемое снижение цены опциона вследствие выплаты дивидендов.
Шаг 4: Оценить опцион колл в момент 0, используя стандартный биномиальный подход.
Влияние исполнения на стоимость базового актива. Модель Блэка-Шоулза основывается на предположении о том, что исполнение опциона не влияет на стоимость базового актива. Это может быть истиной для биржевых фондовых опционов, но для некоторых видов опционов это отнюдь не так. Например, исполнение варрантов повышает число акций компании, находящихся в обращении, и вливает свежую кровь в фирму. При этом оба этих фактора оказывают воздействие на цену акций[33]. Ожидаемое отрицательное влияние (вследствие «разбавления») исполнения опциона понизит стоимость других варрантов, которые аналогичны опционам на покупку. Поправка на разбавление, оказывающее влияние на цену акции, в модели Блэка-Шоулза достаточно проста. Цена акции корректируется с поправкой на ожидаемое разбавление, являющееся следствием исполнения опциона. В случае варрантов, например:
Поправка на разбавление S = (S ns + W nw)/(n + nw),
где S = текущая стоимость акции;
nw = число варрантов в обращении;
W = стоимость варрантов в обращении; ns = количество акций в обращении.
При исполнении варрантов число акций в обращении повысится, что приведет к сокращению цены акций. Числитель отражает рыночную стоимость собственного капитала, включая и акции, и варранты в обращении. Сокращение S уменьшит стоимость опциона колл.
В этом анализе есть что-то вроде замкнутого круга, поскольку для оценки поправки на разбавление S требуется знать стоимость варранта, а для его оценки необходимо иметь поправку на разбавление S. Данную проблему можно разрешить, начиная процесс расчета с предположения по поводу стоимости варранта (например, цены исполнения или текущей рыночной стоимости варранта). Это даст необходимую нам величину доходности варранта, и полученную величину можно использовать в качестве входного параметра для переоценки его стоимости, откуда можно начинать требуемый процесс расчета.
ОТ МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА К БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Процесс преобразования применяемой в модели Блэка-Шоулза непрерывной дисперсии в биномиальное дерево довольно прост. Предположим, что у нас есть актив, продающийся в данный момент по цене 30 долл., а оценка стандартного отклонения стоимости актива, приведенного к годовому масштабу, дала значение в 40 %. Безрисковая ставка в годовом выражении – 5 %. Для упрощения предположим, что срок жизни опциона, подлежащего оценке, равен 4 годам, а период равен 1 году. Для оценки цен к окончанию каждого года мы сначала оценим движения вверх и вниз по биномиальной схеме:
На основе этих оценок мы можем получить цены для оконечности первого узла дерева (завершение первого года):
Повышающаяся цена = 30 долл. (1,4477) = 43,43 долл.
Понижающаяся цена = 40 долл. (0,6505) = 19,52 долл.
Продвигаясь через оставшуюся часть дерева, мы получим следующие цифры:
Модель Блэка-Шоулза для оценки опционов пут. Стоимость пут-опциона можно вывести из колл-опциона с той же самой ценой исполнения и тем же самым сроком действия:
С – Р = S – K × e-rt,
где С = стоимость опциона колл;
Р = стоимость опциона пут.
Связь между стоимостью опционов колл и пут называется «пут – колл паритетом», и любое отклонение от него инвесторы могут использовать для получения прибыли без всякого для себя риска. Чтобы объяснить, почему возникает пут – колл паритет, рассмотрим продажу колл-опциона и покупку пут-опциона с ценой исполнения К и сроком истечения t; при этом одновременно покупается базовый актив по текущей цене S. Выплаты по этой позиции – безрисковые и всегда приносят К в момент истечения срока t. Чтобы убедиться в этом, предположим, что цена исполнения к моменту срока истечения опциона равна S*. Выплаты на каждую позицию в портфеле представлены ниже:
Эта позиция со всей определенностью приносит сумму К, а издержки на создание этой позиции должны равняться текущей стоимости К при безрисковой ставке Ke-rt.
S + Р – C = Ke-rt,
С – Р = S – Ke-rt.
Подставив стоимость опциона колл, полученного по модели Блэка-Шоулза, мы получим:
Таким образом, создается портфель-имитатор путем продажи без покрытия [1 -N(d1)] акций и инвестирования Ke-rt[1 -N(d2)] в безрисковый актив.
Модель оценки опционов при скачкообразном процессе
32
Например, если σ – это дисперсия в ln(коэффициента доходности акции), то движения вверх и вниз по биномиальной схеме можно оценить следующим образом:
33
Варранты – опционы колл, выпущенные фирмой либо для выполнения контракта, предусматривающего вознаграждение менеджмента, либо для привлечения собственного капитала.