Страница 4 из 15
Интерес к Башелье возник у Самуэльсона несколько дней назад, когда он получил открытку от своего друга Леонарда «Джимми» Сэвиджа, профессора статистики из Университета Чикаго. Сэвидж только что закончил работу над учебником по теории вероятности и статистике. По ходу работы у него возник интерес к истории. Копаясь в университетской библиотеке в поисках работ по теории вероятности начала ХХ века, Сэвидж случайно натолкнулся на учебник 1914 года[21], который он никогда раньше не встречал. Полистав его, Сэвидж обнаружил, что помимо некоего новаторского взгляда на теорию вероятности книга содержала несколько глав, посвященных явлению, которое автор назвал «биржевой игрой», – буквально, теории вероятности применительно к игре на бирже. Сэвидж догадался (и был прав), что раз он сам никогда раньше ничего не слышал об этой книге, скорее всего, и его друзья-экономисты тоже ее не видели. Он разослал им письма с вопросом, знают ли они что-нибудь о Башелье. Самуэльсон никогда не слышал этой фамилии. Но он интересовался математическими финансами – областью науки, которую, как он считал, в настоящее время изобретает, – и ему было любопытно узнать, что сделал этот француз. В библиотеке МТИ не оказалось ни одного экземпляра никому не известного учебника 1914 года. Но Самуэльсон нашел другой труд Башелье – его диссертацию «Теория игры на бирже». Он взял книгу в библиотеке и принес в свой офис.
Башелье, конечно, был не первым, у кого возник математический интерес к азартным играм. Одним из них был представитель итальянского Ренессанса Джероламо Кардано[22]. Кардано родился в Милане где-то в начале XVI века и считался одним из самых образованных врачей своих дней. За медицинским советом к нему обращались священники и короли. Он был автором сотен эссе на самую разнообразную тематику – от медицины до математики и мистики. Но его настоящей страстью были азартные игры. Он постоянно играл – в кости, карты, шахматы. В своей автобиографии он признает, что прожил годы, каждый день играя в азартные игры. Азартные игры в Средние века и в эпоху Возрождения строились на простом принципе вероятности выигрыша и проигрыша, схожем с тем, на котором строится современный тотализатор на скачках. Если вы были букмекером, предлагавшим кому-либо сделать ставку, вы могли рекламировать вероятность выигрыша в форме пары цифр, например, «10 к 1» или «3 к 2», которые отражали бы, как велика вероятность, того, что то, на что вы ставите, выиграет (если вероятность выигрыша составляла 10 к 1, это означало бы: вы ставите 1 доллар, фунт или гульден, и если выигрываете, ваш выигрыш составит 10 долларов, или фунтов, или гульденов, плюс вашу первоначальную ставку. Если проигрываете, вы теряете свой доллар). Называя эти цифры, букмекер в значительной степени полагался на интуицию. Кардано же считал, что есть какой-то научный способ понять, как делать правильные ставки, по крайней мере в несложных играх. Он хотел поставить математику того времени на службу своему любимому занятию.
В 1526 году, когда Кардано еще не было тридцати лет, он написал книгу[23], в которой попытался систематизировать теорию вероятности. Он сосредоточился на игре в кости. Его главная догадка заключалась в том, что если допустить, что кость с одинаковой вероятностью может упасть как на одну сторону, так и на другую, можно разработать точные вероятности всевозможных комбинаций, в сущности, просчитать их. Так, например, есть шесть возможных вариантов выпадения кости. Соответственно, есть и точный способ получить в результате цифру 5. Математическая вероятность получения пятерки – 1 из 6 (что соответствует коэффициенту 5 к 1). А как насчет получения суммы 10, если бросать две кости? Существует 6 × 6 = 36 возможных результатов, три из которых в сумме соответствуют 10. Таким образом, вероятность получения в сумме десятки составляет 3 из 36 (что соответствует коэффициенту 33 к 3). Эти вычисления кажутся элементарными, даже в XVI веке они не удивили бы – у любого, кто провел достаточно времени за игрой в кости, развилось интуитивное чувство вероятности. Но Кардано был первым, кто объяснил с математической точки зрения, почему вероятность была такой, какой ее все уже знали.
Кардано так и не опубликовал свою книгу – в конце концов, зачем раскрывать свои секреты игры? После его смерти рукопись нашли среди его бумаг и спустя сто с лишним лет, в 1663 году, опубликовали. К тому времени другие авторы уже предприняли самостоятельные попытки разработать полноценную теорию вероятности. Наиболее серьезная из них появилась с подачи другого азартного игрока, французского писателя, известного под псевдонимом Шевалье де Мере[24]. Его интересовало несколько вопросов, наиболее актуальные из которых касались стратегии игры в кости, которую он очень любил. Игра предполагала, что кости кидали несколько раз подряд, и игрок делал ставку на то, как они лягут. Например, вы могли держать пари, что если бросите одну и ту же кость четыре раза подряд, хотя бы один раз выпадет 6. Опыт показывал, что это было пари с равными шансами, игра сводилась к чистой случайности. Но де Мере инстинктивно чувствовал, что если вы заключите пари, что обязательно выпадет 6, и будете делать на это ставку каждый раз, со временем вы станете выигрывать немного чаще, чем проигрывать. Это легло в основу стратегии игры де Мере, и с ее помощью он выиграл немалые деньги. Однако у де Мере была и вторая стратегия, которую он считал не хуже первой, но которая по какой-то причине приносила ему только огорчение. Эта вторая стратегия заключалась в следующем: всегда держать пари, что если бросать две кости двадцать четыре раза, то хотя бы один раз выпадет двойная 6. Но похоже, эта стратегия не срабатывала, и де Мере хотел знать почему.
Де Мере был завсегдатаем парижских салонов, светских встреч французской интеллигенции, которые проводились в промежутках между приемами и научными конференциями. В салонах собирались образованные парижане всех мастей, в том числе математики. Де Мере начал их расспрашивать об этой задаче. Ни у кого не было ответа на его вопрос, никто не проявлял большого интереса к его поиску до тех пор, пока де Мере не задал этот вопрос Блезу Паскалю. Паскаль – вундеркинд, самостоятельно разработавший большую часть классической геометрии, рисуя в детстве картинки. Еще подростком он стал завсегдатаем влиятельного салона священника-иезуита Марена Мерсена. Именно там де Мере встретился с Паскалем. Паскаль тоже не знал ответа на вопрос де Мере, но он его заинтриговал. Паскаль согласился с мнением де Мере, что эта задача должна иметь математическое решение.
Паскаль стал работать над задачей де Мере. Он позвал на помощь другого математика, Пьера де Ферма. Ферма был юристом, всесторонне образованным человеком, свободно владевшим полудюжиной иностранных языков, одним из самых способных математиков тех дней. Ферма жил приблизительно в шестистах километрах к югу от Парижа, в Тулузе. Паскаль не был с ним знаком лично, но слышал о нем от своих знакомых из салона Мерсена. В течение 1654 года в ходе длительной переписки Паскаль и Ферма нашли решение задачи де Мере. А попутно разработали основные положения современной теории вероятности.
Одним из результатов переписки между Паскалем и Ферма был способ точного расчета вероятности выигрышных ставок при игре в кости, который интересовал де Мере (система Кардано тоже учитывалась в такого рода играх в кости, но никто об этом не знал, когда де Мере заинтересовался этими вопросами). Им удалось показать, что первая стратегия де Мере была успешной, поскольку вероятность того, что выпадет 6, если кидать кость четыре раза, была чуть выше 50 % – скорее 51,7747 %. Вторая же стратегия де Мере была не так хороша, поскольку вероятность того, что выпадут две цифры 6, если кидать две кости двадцать четыре раза, составляла всего около 49,14 % – менее 50 %. Это означало, что со второй стратегией победа была немного менее вероятна, чем проигрыш, в то время как первая стратегия имела чуть больше шансов на выигрыш. Де Мере был в восторге от того, что теперь он мог положиться на аналитические наработки двух великих математиков, и стал придерживаться только первой стратегии.
21
Сэвидж нашел работу Башелье (1914 г.).
22
Многое из того, что мы знаем о Кардано, известно из его автобиографии 1929 г. [1576]. Было написано несколько его биографий, включая работы Морлея (1854 г.), Ора (1953 г.) и Сирэзи (1997 г.), в которых совершена попытка проанализировать его труды как по математике, так и по медицине. Подробнее историю теории вероятности в целом см. у Бернштайна (1998 г.), Хэкинга (1975 г., 1990 г.), Дэвида (1962 г.), Штиглера (1986 г.) и Хальда (2003 г.).
23
Книга, которую я имею в виду, – это то, что позднее стало посмертным произведением Кардано, – «Liber de ludo aleæ» (Кардано, 1961 г. [1565]).
24
Подробнее о де Мере, Паскале и Ферма см. у Делвина (2008 г.), помимо работ об истории теории вероятности, указанных выше.