Страница 13 из 15
Статистик с астрономическим образованием не знает, что означают надписи над столбцами цифр, как интерпретировать вписанные в них данные, но это не страшно. Цифровые данные не пугали Осборна. В конце концов, он в своей жизни перевидал столько страниц с данными, каждую ночь регистрируя движение небесных тел. Сложность состояла в том, чтобы понять, как эти цифры связаны друг с другом, определить, какие цифры давали информацию о других цифрах, и понять, может ли он что-либо спрогнозировать. На самом деле он должен построить модель на основе экспериментальных данных, чем ему уже приходилось заниматься множество раз. Осборн закатывает рукава, окунается в море цифр. И обнаруживает несколько знакомых ему моментов: цифры, соответствующие цене, ведут себя точно так же, как частицы, беспорядочно движущиеся в жидкости. Насколько Осборн понял, эти цифры подобны пыли, демонстрирующей броуновское движение.
Первый вклад Осборна в теорию поведения фондового рынка, имевший наиболее далеко идущие последствия, во многих отношениях повторял диссертацию Башелье. Но было одно большое отличие. Башелье утверждал, что в каждый момент цены на акции могли немного подняться и в равной степени так же немного опуститься. Из этого он заключил, что цены на акции имеют гауссовское (нормальное) распределение[59].
Осборн сразу отверг эту идею (и Самуэльсон тоже – он назвал этот аспект труда Башелье абсурдным). Простой способ проверить гипотезу о том, что степени вероятности, определяющей будущие цены на акции, определяются путем гауссовского (нормального) распределения, – это выбрать произвольный набор акций и составить график движения их цен. Если бы гипотеза Башелье была правильной, можно было бы предположить, что график цен на акции примет форму, напоминающую гауссову кривую.
Но когда Осборн попробовал его построить, он обнаружил, что цены совсем не соответствуют гауссовскому распределению! Другими словами, если бы вы посмотрели на полученные данные, выводы Башелье сразу же исключались. (Надо отдать ему должное, Башелье действительно проверил данные, полученные эмпирическим путем, но не учел определенной необычной характерной особенности выбранного им рынка рентных бумаг – динамика их цен была очень медленной и их цена никогда не менялась на большую сумму. И из-за этого его модель казалась более эффективной, чем была на самом деле.)
Так как же выглядело распределение цен у Осборна? Оно выглядело как горб с длинным хвостом с одной стороны и практически без хвоста – с другой. Эта форма мало напоминает колокол, но Осборну она показалась очень знакомой. Вот что вы получаете, когда сами по себе нормально распределяются не цены, а норма прибыли на инвестированный капитал (доходность). Доходность акции может представляться как средний процент, на который каждый момент меняется цена. Представим, что вы взяли 200 долларов, положили 100 долларов на сберегательный счет и использовали оставшиеся 100 долларов на покупку нескольких акций. Через год, возможно, у вас не будет 200 долларов (у вас может быть больше или меньше) из-за того, что на сберегательный счет будут начислены проценты, а цены на приобретенные вами акции изменятся. Доходность акций может восприниматься как процентная ставка, которую ваш банк должен был бы вам выплатить (или взыскать), чтобы поддерживать одинаковые остатки на ваших двух счетах. Это – способ отразить изменение цены на акцию по сравнению с ее первоначальной ценой.
Доходность акции соотносится с изменением цены с помощью математической операции, известной как логарифм. По этой причине, если уровни доходности распределяются нормально, гауссово (нормальное) распределение цен на акции должно давать нечто, известное как логарифмически нормальное (log-нормальное) распределение (как оно выглядит, см. график 2). Log-нормальное распределение выглядит как смешной горб с хвостом, который Осборн и получил, когда рисовал график фактических цен на акции. Главная идея этого анализа заключалась в том, что случайные блуждания претерпевает именно доходность, а не цена.
Это наблюдение устраняет серьезнейшую проблему модели Башелье. Если цены на акции распределяются нормально и ширина распределения определяется временем, то в этом случае модель Башелье предсказывает, что через достаточно большой промежуток времени всегда будет существовать шанс, что любая заданная цена акции станет отрицательной. Но это невозможно: акционер не может потерять больше, чем он первоначально инвестировал. В модели Осборна эта проблема отсутствует. Независимо от того, насколько отрицательной станет величина доходности акции, сама цена никогда не станет отрицательной – она просто все больше и больше будет приближаться к нулю.
Рис. 2. Степень вероятности в модели Осборна
Рисунок 2. Осборн утверждал, что нормально распределяется доходность, а не цены. Поскольку цена и доходность связаны логарифмом, модель Осборна подразумевает, что цены должны распределяться лог-нормально. Эти графики показывают, как будут выглядеть эти два распределения в определенный момент в будущем для акции, цена которой в настоящий момент составляет 10 долларов. График (a) – это пример нормальной обобщенной функции (гауссовского распределения) доходности, а график (b) связан с лог-нормальным распределением цен при указанной вероятности доходности. Заметьте, что на этой модели показатели доходности могут быть отрицательными, а цены никогда не бывают отрицательными.
У Осборна была и другая причина полагать, что претерпевать случайные блуждания должна доходность, а не сама цена. Он утверждал, что инвесторов на самом деле не заботит абсолютная динамика акций. Их заботит изменение процентов. Представьте себе, что у вас есть акция стоимостью 10 долларов и она вырастает на 1 доллар. Вы только что заработали 10 %. Теперь представьте, что акция стоит 100 долларов. Если она поднимется на 1 доллар, вы будете довольны, но не настолько, поскольку вы заработали всего 1 %, несмотря на то что в обоих случаях вы заработали 1 доллар. Если акция начинает торговаться на уровне 100 долларов, она должна вырасти до 110 долларов, чтобы инвестор был так же доволен, как когда акция стоимостью 10 долларов выросла до 11. И логарифмы не нарушают эту сведенную от абсолютности к относительности оценку: они обладают чудесным свойством: разница между Log(10) и Log(11) равна разнице между Log(100) и Log(110). Другими словами, доходность одинакова по акции, которая начинает торговаться по цене 10 долларов и поднимается до 11 долларов, и по акции, которая начинает торговаться по цене 100 долларов и поднимается до 110 долларов. Статистики скажут, что логарифм цены имеет свойство «равного интервала»: разница между логарифмами двух цен соответствует разнице в психологическом восприятии прибыли или убытка, соответствующего указанным двум ценам.
Возможно, вы заметили, что утверждение в предыдущем абзаце, которое является утверждением Осборна, озвученным в статье «Броуновское движение на фондовом рынке», обладает неожиданной особенностью: в нем говорится, что нас должны интересовать логарифмы цен, потому что они лучше отражают то, как инвесторы воспринимают свои прибыли и убытки. Другими словами, важно не то, какова величина изменения цены акции, а то, как инвестор реагирует на изменение этой цены. На самом деле мотивацией Осборна при выборе логарифмов цены как главной переменной был психологический принцип, известный как закон Вебера-Фехнера[60]. Закон Вебера-Фехнера был сформулирован в XIX веке психологами Эрнстом Вебером и Густавом Фехнером, чтобы объяснить, как субъекты реагируют на разнообразные физические стимулы. В ряде экспериментов Вебер просил мужчин с завязанными глазами удерживать тяжести. Он постепенно добавлял вес к уже удерживаемому, предполагалось, что мужчины скажут, когда они почувствуют увеличение веса. Оказалось, что если субъект начинал с удерживания маленького веса – всего нескольких граммов, – он чувствовал, когда ему добавляли еще несколько граммов. Но если субъект начинал с большего веса, он не замечал нескольких дополнительных граммов. Выяснилось, что самое небольшое увеличение, которое субъект замечал, было пропорционально начальному весу. Другими словами, психологический эффект изменения стимулирующего воздействия определяется не абсолютной величиной изменения, а его изменением по сравнению с исходной точкой.
59
Историю распределения вероятностей (вероятностного закона), в том числе лог-нормальных распределений, см. у Каселла и Бергера (2002 г.), Кэтрин Форбс и др. (2011 г.).
60
См. работу Осборна (1959 г.).