Страница 16 из 80
(1)
где: F – сила сопротивления, к – поправочный коэффициент, d – объемный вес жидкости, g – ускорение свободного падения.
К.Э. Циолковский, наблюдая за движением несжимаемой жидкости, возмущаемой передвижением в ней плоской пластинки в форме круга, высказал свою гипотезу которую некоторые авторы записывают ему в заслугу:
«Наибольшую скорость приобретают частицы, лежащие близ движущейся пластинки, причем движение частиц спереди и сзади пластинки имеет одно и то же направление: передние частицы гонятся вперед, задние увлекаются по тому же направлению вследствие разряжения там воздуха. Мы допустим, что сфера жидкости, облекающая пластинку, как свой большой круг, имеет однообразную скорость, равную скорости пластинки; частицы этой сферы толкают и увлекают другие частицы жидкости, далее лежащие; но так как пространство, или, так сказать, русло их постепенно расширяется, то и скорость частиц жидкости тем более уменьшается, чем далее они расположены от движущейся пластинки. Также и задние частицы увлекают части воздуха, за ними лежащие, и скорость уменьшается в таком же отношении. Б конце концов линия движения передних и задних частиц составляет одну замкнутую кривую, так что передние частицы жидкости направляются по этим кривым за пластинку» [115].
В этой же работе, на основе своей гипотезы он обращает внимание на образование вихрей на краях пластинки. Он писал, что: «По краям пластинки АВ встречаются два противоположных течения, которые и образуют круговое движение» [137] [с. 30]. Этот фрагмент его работы был опубликован только в 1951 году [137], что объясняется, видимо, тем обстоятельством, что был он малоинформативным.
Дело в том, что представления о вихревом движении относятся к достаточно далеким временам. Как показано в [15], еще Лагранж установил принцип сохранения вихрей, потом Коши в 1815 году доказывал его, а в 1858 году появилась статья Гельмгольца «Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям». Поэтому К.Э. Циолковский ничего нового не сообщил, а уж, тем более, не мог это наблюдение отразить в своих рассуждениях, поскольку вихревое движение описывается уравнениями в частных производных, теорией которых он не владел. Да и сама аэродинамика должна была подняться до уровня познания вихревого движения.
На основании этих своих наблюдений физической картины он предположил, что круглая пластинка толкает сферу жидкости(см.рис. 1).
Диаметры сферы и пластинки равны, причем последняя является плоскостью экватора сферы. Скорости пластинки и этой сферы тоже равны и, как мы увидим, в своей математической модели он предположил, что их площади тоже равны, т.е. 2πr2 = 4πH2.
А вот скорости любой другой поверхности сферы радиуса Н во столько раз меньше скорости пластинки, во сколько поверхность слоя Н больше площади поверхности пластинки, т.е.
где V – скорость сферического слоя жидкости радиусом Н, Vn – скорость пластинки радиусом r, нормальная к потоку.
Далее он вычисляет работу:
где: dm – масса сферического слоя толщиною в dH (если это масса, то в (3) лишнее g, поэтому это – вес),
но dm = 4 π d H2 dH;
с учетом (2), он получил:
интегрируя, он получил:
Если Н = r, то работа равна той, которая необходима, чтобы сообщить сфере постоянную скорость Vn, т.е.
(Тут наблюдается некоторая непоследовательность: то он использует представление о равенстве поверхностей сферы и пластинки, т.е. фактически исключает сферу из рассмотрения, то опять ее вводит).
Отсюда:
При Н = ∞ , что соответствует всей массе приводимой в движение жидкости, он получил:
И последний момент: он заменяет круглую пластинку прямоугольной так, что π r2 = ab и чтобы она «была не очень продолговатой». Тогда:
Таким образом, К.Э. Циолковский представил еще одну модель обтекания пластинки потоком жидкости (движения пластинки в потоке). Эта модель была альтернативной ньютоновской и отличалась от нее способом учета массы жидкости.
Если у Ньютона последняя соответствовала ее объему, равному произведению площади пластинки на ее скорость, то у К.Э. Циолковского она занимает сферу, в которой скорость меняется от скорости пластинки до нуля.
В целом внешний вид формул (1) и (5) был подобен, поскольку последняя имела всего лишь лишний множитель √ab , да постоянный коэффициент, видимо, был иным:
Казалось бы, что теперь наступил момент сравнения точностей формул (1) и (5), их сравнения с экспериментальными данными. Однако дальнейшие действия К.Э. Циолковского остаются непонятными. Он почему-то считал, что формула (1) пригодна для установившегося движения жидкости, а его формула (5) – для неустановившегося. При этом он не объясняет, что он имеет в виду, по каким параметрам его поток еще не установился. Вся логика его рассуждений в этом контексте ничем не отличалась от ньютоновской и его модель касалась того же потока, что и у Ньютона, т.е. стационарного, установившегося.
Считая эти формулы принципиально отличающимися, он не останавливается на их сравнении и переходит к решению следующей задачи. Он ставил ее так:
«Определим теперь силу давления воздуха или, вообще, жидкости на прямоугольную пластинку, одна сторона а которой перпендикулярна направлению ее параллельного движения, а другая b параллельна ему» [101] [с. 25].
При такой теоретической модели он, по логике вещей, должен был рассматривать силу сопротивления и силу трения (см. рис. 2), т.е. два потока воздуха, один из которых был бы нормален к пластинке и имел скорость Vn, а другой, создающий трение, направлялся вдоль пластинки со скоростью Vp.