Страница 62 из 78
Итак, знание в математике совершенно особенное, потому что не получается в опыте, а значит, не может быть ни подтвержено, ни опровергнуто опытом.
Но в таком случае как понять такое знание? Как оно возможно?
Философы давно задумались об этом. В течение многих веков была популярна идея о том, что можно выделить два вида знания: знание, получаемое и проверяемое в опыте (его назвали апостериорным знанием) и знание, от опыта не зависящее (априорное). Математика считалась самым ярким примером априорного знания. Конечно, любое знание предполагает размышление. Вместе с тем, опытное знание возможно только тогда, когда имеется воздействие внешних человеку предметов на его органы чувств (т. е. органы зрения, слуха, осязания, обоняния). Если бы человек не был окружен разными предметами, с которыми он взаимодействует, или если бы он не имел органов чувств, он не имел бы опытного знания. Когда у человека отсутствует тот или иной из органов чувств, он не может иметь знаний о соответствующих характеристиках действительности. Так, например, слепорожденный не знает, что такое цвет, а глухой не имеет знаний о звуках, их сочетаниях и взаимоотношениях. Что же касается априорного знания, то оно, как считали многие философы, выражает природу самого ума и является врожденным. Поэтому оно и не зависимо от опыта. Великий философ древней Греции Платон считал, что душа и тело человека имеют разную природу. Телесный человек рождается и умирает, а его душа бессмертна. Она вселяется в тело только на какое-то время. До того, как душа соединилась с телом, она соприкасалась с миром особых нематериальных предметов-идей, существующих вне пространства и времени, таких, в частности, как идеи треугольника, окружности, арифметических чисел, с которыми имеет дело математика. Контакт души с миром идей породил математическое знание, о котором душа как бы забыла, соединившись с телом и вступив во взаимодействие с материальными предметами. Однако душа может при помощи специальных процедур вспомнить о тех знаниях, которые она получила до всякого чувственного опыта и как бы «вытащить» это дремавшее в ее глубинах знание на поверхность сознания. Выявление логических взаимоотношений между элементами этого знания порождает математику. Платон, а за ним многие другие философы, считали математику образцом знания вообще. Ведь знание, подчеркивал Платон, это то, что точно соответствует своему предмету. Мы можем претендовать на то, что знаем нечто, только в одном случае: когда мы уверены, что наше утверждение соответствует реальному положению дел. Но у нас никогда нет такой уверенности, когда мы имеем дело с утверждениями, относящимися к миру опыта. В математике же знание безошибочно, потому что оно вне-опытно.
Некоторые философы не были согласны с Платоном в том, что для объяснения особого характера математического знания необходимо предполагать существование особого мира бестелесных идей. Достаточно согласиться с тем, считали эти философы, что в математике ум, сознание имеют дело сами с собой и с результатами своей деятельности, не зависимой от опыта. Ведь то, что породило сознание, бессмысленно проверять с помощью опыта. Я, например, могу вообразить существо с головой человека и телом крокодила. Если я знаю, что это только продукт моего воображения, существующий лишь в моем сознании, я понимаю, что опыт не может ни подтвердить, ни опровергнуть это представление. Все те качества, которые я припишу этому вымышленному существу, будут свойственны ему совершенно бесспорно. Однако в данном случае сам вымышленный мною образ стал возможен только потому, что я встречал в опыте как людей, так и крокодилов (или по крайней мере видел крокодилов в кино или по телевизору). Но можно себе представить такую деятельность сознания, считают эти философы, когда оно не перерабатывает вообще никаких данных опыта, а только имеет дело с самим собою. В этом случае, согласно их точке зрения, мы имеем математическое знание. Так, например, великий немецкий философ Кант высказал мысль о том, что от рождения сознанию человека свойственны некоторые «чистые» (т. е. не зависимые от опыта) формы пространства и времени. Сосуд не зависит от того, что в него наливается. В один и тот же сосуд я могу наливать воду, молоко, вино. Так же обстоит дело и с формой. Форма не зависит от того, с каким содержанием она соединяется. Форма пространства не зависит от того, с какими вещами я имею дело в опыте. Форма времени не зависит от того, какие временные события даны мне в моем опыте. Если я изучаю не то, чем наполняется сосуд, а то, как устроен сам сосуд, т. е. если я имею дело не с содержанием, а с формой знания, мое знание будет априорным. Ум, действующий в априорной сфере «чистого пространства», конструирует геометрические фигуры и порождает математическое знание. Априорная форма «чистого времени» предполагает возможность бесконечного повторения одной и той же операции. Эта возможность бесконечного повторения порождает мир арифметических чисел. Из этого мира при помощи правил логики можно конструировать систему алгебры.
Однако были и другие философы, которые не соглашались с такого рода объяснениями. Да, говорили эти философы, знание в математике, действительно, довольно специфично, поскольку внеопытно. Но для объяснения этой особенности вовсе не обязательно предполагать существование особого бестелесного мира идей или врожденного мира сознания, поскольку наша жизнь, обычная практика и развитие науки заставляют с большим подозрением относиться к такого рода предположениям. Специфику знания в математике можно объяснить гораздо проще. Все дело в том, что в действительности математическое знание не является… знанием.
Вот как рассуждали эти философы.
Все наши знания мы выражаем обычно с помощью языка. Это могут быть знания о нашем обычном опыте («Там находится большой трехэтажный дом», «Листья этого дерева уже облетели»). Это могут быть знания о законах природы («Каждое тело, не подвергаемое воздействию извне, покоится или движется равномерно и прямолинейно»). Но язык выражает не только знания. Наши высказывания могут содержать приказы («Огонь!»), просьбы («Закройте, пожалуйста, окно»), обещания («Клянусь говорить правду и только правду»). Есть однако еще одна группа утверждений, которые не передают ни знаний о мире, ни просьб или обещаний. Они выражают значения слов данного языка. Таково, например, высказывание «Холостяк — это неженатый мужчина». Для того, чтобы убедиться в его истинности, вовсе не нужно изучать холостяков с целью выяснения, все ли они, действительно, являются неженатыми. Если вы понимаете смысл слова «холостяк» в русском языке, вы согласитесь с тем, что холостяк — это в самом деле неженатый мужчина. Истинность этого высказывания, таким образом, определяется независимо от опыта. Такие высказывания получили название аналитических. Особенность такого рода высказываний состоит в том, что они выражают не знания, а характер того средства — языка, — которое мы используем для выражения любых знаний. Ряд философов предположили, что законы логики (закон тождества, закон противоречия и закон исключенного третьего)· тоже являются такого рода аналитическими высказываниями. Затем эти философы попытались показать, что все математические утверждения (начиная с утверждений арифметики) можно чисто логическим путем вывести из этих логических законов. Если бы этот замысел удался, можно было бы с определенным основанием считать, что математика сводится к логике, а поскольку логика состоит лишь из аналитических высказываний, то и математика — это ни что иное, как система такого рода высказываний. В этом случае априорный характер математики можно было бы связать не с существованием особого царства нематериальных идей и не с врожденными характеристиками нашего сознания, а попросту с логической структурой языка.