Страница 8 из 15
Кроме Ньютона и предрассудков XVIII в. главной причиной столь долгогозастоя в теории упругости было то, что те немногие ученые, которые всеже занимались атой проблемой, пытались анализировать силы и перемещения,рассматривая конструкцию целиком как это делал и Гук, - вместо того чтобыперейти, к силам и деформациям, которые существуют в каждой точке внутриматериала. Предпринимавшиеся в XVIII и XIX вв. такими выдающимися умами,как Леонард Эйлер (1707-1783) и Томас Юнг (1773-1829), попытки решать вполнестандартные с сегодняшней точки зрения задачи кажутся современному инженеруневероятнейшими интеллектуальными ухищрениями.
Концепция упругости материала в точке сводится к понятию о напряжениии деформации, которое впервые в обобщенной форме было сформулировано ОгюстомКоши (1789-1857) в его статье, направленной во Французскую академию наукв 1822 г. После работ Гука эта статья была, быть может, самым важным событиемв истории развития теории упругости. После нее появилась надежда, что этанаука наконец станет орудием в руках инженеров, а не эмпиреями несколькихэксцентричных мыслителей. На портрете, написанном примерно в то же время,Коши выглядит довольно бойким молодым человеком; несомненно, в прикладнойматематике он был большой силой.
Когда в XIX в. английские инженеры наконец снизошли до того, чтобыпознакомиться с работами Коши, то обнаружили, что, усвоив основные понятия онапряжениях и деформациях, можно сразу упростить все исследования по расчетуконструкций. Сегодня эти понятия в широком ходу, и трудно объяснить тозамешательство и смущение, которые иногда испытывают при упоминании о нихнеспециалисты. У меня как-то была аспирантка, незадолго до этого удачнозащитившая диплом по биологии. Изучение понятий о напряжениях и деформацияхвывело ее из душевного равновесия настолько, что она сбежала из университета ибесследно исчезла. Почему - я так и не пойму до сих пор.
Напряжение
Оказывается, к представлению о напряжении был очень близок еще Галилей.В "Двух новых науках" - книге, написанной им в старости в Арцетри, - онясно указывает, что растягиваемый стержень имеет прочность, которая припостоянстве остальных условий пропорциональна площади его поперечного сечения.Иными словами, если стержень сечением 2 см2 разрывается принагрузке 1000 кгс, то стержень сечением 4 см2 разрывается принагрузке 2000 кгс. Кажется почти невероятным, что потребовалось почти двастолетия, чтобы разделить разрушающую нагрузку на площадь поверхности вместе разрыва, дабы получить величину, называемую сегодня разрушающим напряжением(в упомянутом выше случае 500 кгс/см2) и относящуюся ко всемстержням из того же материала.
Коши осознал, что такое представление о напряжении можно использоватьне только для того, чтобы предсказать разрушение материала, но и для болееобщего описания состояния тела в любой его точке. Другими словами, напряжениев твердом теле напоминает давление в жидкости или газе. Оно является меройвоздействия внешних сил на атомы и молекулы, из которых состоит материали которые вынуждены под действием этих сил сближаться или удаляться другот друга.
Таким образом, сказать, что напряжение в данной точке какого-то куска сталисоставляет 500 кгс/см2, ничуть не более вразумительно и не менее таинственно,чем сказать, что давление в шинах моего автомобиля 2 кгс/см2. Однако, хотяпонятия о давлении и напряжении вполне сопоставимы, нужно иметь в виду, чтодавление действует в любом направлении внутри жидкости, тогда как напряжениеявляется величиной, характеризующейся определенными направлениями действия.Напряжение может, в частности, действовать в одном-единственном направлении; вовсяком случае, пока мы будем считать, что это именно так.
В количественном выражении напряжение в заданной точке определяется отношениемсилы, или нагрузки, приходящейся на небольшую площадку в окрестности этойточки, к величине этой площадки[5].
Если напряжение в некоторой точке мы обозначим буквой s,то напряжение = s = (нагрузка/площадь) = (Р/А),где Р - нагрузка, а А - площадь, на которую,как можно считать, эта нагрузка действует (рис. 6).
Рис. 6. Напряжение, возникающее в бруске при растяжении.(Ситуация при сжатии выглядит аналогичным образом.)
Вернемся теперь к нашему кирпичу, который в предыдущей главе мы оставиливисящим на веревке. Если кирпич весит 5 кг, а веревка имеет сечение 2 мм2, токирпич натягивает веревку с силой 5 кгс, а напряжение в веревке s =(нагрузка/площадь) = (Р/A) = 5 кгс/2 мм2 = 2,5 кгс/мм2, или, еслиугодно, 250 кгс/см2.
Единицы напряжения
В связи со сказанным возникает порой вызывающий досаду вопрос о единицахнапряжения. Напряжение можно выразить, и часто его именно так и выражают,в различных величинах, соответствующих какой-либо единице силы, деленнойна какую-либо единицу площади. Чтобы не было путаницы, в этой книге мыограничимся использованием следующих единиц.
Меганьютон на квадратный метр - МН/м2. Это единица СИ - Международнойсистемы единиц, которая в качестве единицы силы использует Ньютон - Н.
1Н = 0,102 кгс (приблизительно весу одного яблока).
1 МН (меганьютон)=1 млн. Н, что составляет почти 100 т.
Килограмм силы на квадратный сантиметр - кгс/см2
Перевод одних единиц в другие:
1 MH/м2= 10,2 кгс/см2, 1 кгс/см2=0,098 МН/м2.
Таким образом, полученное в нашей веревке напряжение составляет 250 кгс/см2или 24,5 МН/м2. Обычно для приближенного вычисления напряжений нетнеобходимости и в абсолютно точных коэффициентах перевода одних единиц вдругие.
Стоит повторить: важно осознать, что напряжение в материале, подобнодавлению в жидкости, есть величина, привязанная к некоторой точке; ононе относится к какой-либо определенной площади поперечного сечения, такой,как квадратный сантиметр или квадратный метр.
Деформация
В то время как напряжение говорит нам о том, сколь интенсивно принуждаютсяк расхождению в данной точке твердого тела атомы, деформация говорит отом, сколь далеко этот процесс растяжения зашел, то есть каково относительноерастяжение межатомных связей,
Так, если стержень, имевший первоначально длину L, поддействием силы удлинился на величину l, то деформация, илиотносительное изменение длины стержня, которую обозначим буквой е,будет e = l/L(рис. 7)
Рис. 7. Деформация, возникающая в бруске при растяжении.(Деформация при сжатии выглядит аналогичным образом.)
Возвращаясь к нашей веревке, можно сказать, что если ее первоначальнаядлина была, допустим, 2 м (200 см), а под действием веса кирпича она удлиниласьна 1 см, то деформация веревки е = l/L= 0,005, или 0,5%.
Деформации, возникающие в инженерной практике, обычно весьма малы, поэтомуинженеры, как правило, выражают их в процентах, что уменьшает вероятностьошибки, если оперировать десятичными дробями с множеством нулей.
Подобно напряжению, деформация не связана с какой-либо опеределеннойдлиной, сечением или формой материала. Она также характеризует состояниематериала в точке. Поскольку для определения деформации мы делим удлинениена первоначальную длину, она выражается безразмерной величиной - числом,не требующим какой-либо единицы измерения. В равной мере все сказанноеотносится не только к растяжению, но и к сжатию.
Модуль Юнга, или какова жесткость данного материала?
Как уже говорилось, в своей первоначальной форме закон Гука хотя и заслуживалвнимания, но свалил в одну кучу свойства материала и поведение конструкций.Произошло это в основном из-за отсутствия понятий "напряжение" и "деформация",не последнюю роль сыграли здесь существовавшие в прошлом трудности, связанныес испытанием материалов.
5
Здесь явная аналогия со скоростью движения, которая в каждый данный момент времени равна отношению пути, пройденного за малый отрезок времени, к величине этого отрезка времени.