Сочинения

* «Analyse des infiniment petits», part 1, prop. 2 [7].

** См. письмо к Коллинзу от 8 ноября 1676 г.

375

18. Любопытно заметить, какую тонкость и изобретательность проявляет этот великий гений в борьбе с непреодолимым затруднением и через какие лабиринты пытается он спастись от учения о бесконечно малых величинах, на которое, хочет он того или нет, он повсюду натыкается и которое признается и принимается другими без малейшего колебания. Лейбниц и его последователи в своем calculus differentialis ни в коей мере не стесняются, сначала предполагая, а затем отбрасывая бесконечно малые величины, и любой мыслящий человек, не предубежденный заранее в пользу этих вещей, может легко себе представить, каковы могут быть ясность восприятия и правильность суждения при такой логике! Мы уже рассматривали понятие, или идею, бесконечно малой величины как объекта, непосредственно воспринимаемого умом *. Теперь я ограничусь лишь замечанием относительно того, каким способом избавляются от таких величин, а это делается совершенно бесцеремонно. Подобно тому как в методе флюксий главная задача, прокладывающая путь всему остальному, заключается в том, чтобы найти флюксию произведения двух неопределенных величин, в calculus differentialis (методе, который считается заимствованием вышеупомянутого, с некоторыми незначительными изменениями) главное состоит в том, чтобы получить дифференциал такого произведения. Правило для этого получается путем отбрасывания произведения, или прямоугольника, дифференциалов. и вообще считается, что ни одна величина не возрастает и не уменьшается от прибавления своей бесконечно малой и что, следовательно, от такого отбрасывания бесконечно малых не может произойти ошибки.

* § 5 и 6.

19. и тем не менее представляется, что, если в посылках допускаются какие-либо ошибки, следует ожидать соответствующих им ошибок в заключении, имеем ли мы дело с конечными пли бесконечно малыми величинами; и в силу этого  [9] геометрии требует, чтобы ничем не пренебрегали и ничего не отбрасывали. В ответ на это вы, возможно, скажете, что заключения правильны и истинны и что поэтому принципы и методы, на основе которых они

376

получены, тоже должны быть правильны и истинны. Но этот обратный (inverted) способ доказательства правильности принципов на основе выводов настолько же присущ вам, господа, насколько противоречит правилам логики. Истинность вывода ни в коей мере не докажет правильность ни формы, ни сущности силлогизма, ввиду того что заключение могло быть неверным или посылки ложными, а вывод тем не менее будет правильным, хотя и не благоцаря такому заключению или таким посылкам. Я утверждаю, что в любой другой науке люди доказывают свои выводы на основе принципов, а не свои принципы на основе выводов. Но если в своей науке вы разрешаете для себя этот неестественный ход рассуждений, то в качестве последствия такого шага вам придется взять на вооружение индукцию и распроститься со [строгими] доказательствами. А если вы пойдете на это, ваш авторитет уже не будет более прокладывать путь вперед в вопросах разума и науки.

20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны, и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а только способ их доказательства, законный он или незаконный, ясный или туманный, теоретический (scientific) или экспериментальный. Чтобы избежать всякой возможности вашего неправильного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и я вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, т. е. то, каким образом он рассуждает и доказывает, а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их посылках, не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приемов выведения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные положения, исходя из ложных принципов, могут прийти к правильному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя не может породить науку.

377

21. Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи при наличии бесконечно малых дифференциалов. Пусть АВ — кривая, абсцисса АР=х, ордината РВ=у, приращение абсциссы PM=dx, приращение ординаты RN=dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой многоугольник и, следовательно, BN, приращение, то есть разность кривой, является отрезком прямой, совпадающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ, тогда подкасательная РТ будет четвертым членом пропорции RN: RB = РВ..., т.е. dy : dx = y... Отсюда подкасательная будет равна y dx/dy.

Но здесь и содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, т. е. RN+NL, т. е. dy+z; отсюда истинным выражением для подкасательной должно было бы быть y dx/dy+z. Следовательно, когда dy было сделано делителем, была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, т. е. NL, отрезку, заключенному между кривой и касательной. Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу=рх, где р — параметр, отсюда в соответствии с правилом дифференцирования 2y dy=p dx и dy= p dx/2y. Но если умножить (y+dy) само на себя и сохранить все произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется,

378

что действительно . Следовательно, была допущена ошибка, когда сочли, что , приведшая к увеличению истинного значения и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. и величина этой второй ошибки  Следовательно, обе ошибки равны друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.

22. Если допустить только одну ошибку, не найдешь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи каких средств. Для доказательства равенства  обозначим BR или dx как m, a RN или dy как n. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» [грека] Аполлония [9] и подобия треугольников следует, что 2х : у, как . Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу+2у n+