Сочинения

«Хотя наша идея бесконечности вытекает из созерцания величины и бесконечного нарастания величины, которое ум может произвести через повторные прибавления каких угодно частей, однако, я полагаю, мы вызываем большую путаницу в наших мыслях, когда соединяем бесконечность с какой-нибудь предполагаемой идеей количества, которую ум, как считают, может иметь, и, таким образом, начнем говорить или рассуждать о бесконечной величине, например о бесконечном пространстве или бесконечной продолжительности. В самом деле, наша идея бесконечности есть, на мой взгляд, бесконечно возрастающая идея. Но идея любой величины, которая имеется в уме, сама себя ограничивает во время своего нахождения в душе (как бы ни была она велика, она не может быть больше того, что она есть), и присоединять к ней бесконечность — значит прилагать постоянную меру к возрастающей величине. Поэтому я не считаю незначительной тонкостью свое утверждение, что мы должны старательно различать между идеей бесконечности пространства и идеей бесконечного пространства» [1].

357

Я не сомневаюсь, что если то, что говорит г-н Локк, будет mutatis mutandis [2] применено к бесконечно малым количествам, то это избавит нас от неясности и путаницы, которая в противном случае сделает непонятными самые крупные достижения современного анализа. Ибо тот, кто вместе с г-ном Локком должным образом оценит различие, которое существует между бесконечностью пространства и пространством бесконечно большим или малым, и учтет, что мы обладаем идеей первого, но не обладаем идеей последнего, едва ли будет стремиться выйти за пределы известного и говорить о бесконечно малых частях, или partes infinitesimae [3] конечных количеств и еще меньше — об infinitesimae infinitesimarum [4] и т. д. и тем не менее последнее очень характерно для тех, кто пишет о флюксиях или дифференциальном исчислении. На бумаге они изображают бесконечные различных порядков, как будто бы в их уме есть идеи, соответствующие этим словам и знакам, или будто не заключено противоречия в том, что могут одновременно существовать бесконечно малая линия и другая линия, в бесконечное число раз меньшая, чем первая. Для меня совершенно ясно, что мы не можем пользоваться знаком, если нет идеи, соответствующей ему [5]. В равной степени ясно и то, что у нас нет идеи бесконечно малой линии; более того, очевидно, что вообще невозможно существование такой вещи, ибо любая линия, какой бы малой она ни была, всегда будет делима на части еще меньшие, чем она. Следовательно, не может существовать линия quavis data minor [6], или бесконечно малая.

Далее, отсюда совершенно очевидно следует, что бесконечно малая величина даже первого порядка есть просто ничто, о чем известный математик д-р Уоллес пишет в 95-й теореме своей «Арифметики бесконечных», где он делает асимптотическое пространство, заключенное между двумя асимптотами и кривой гиперболы, своего рода последовательностью reciproca primanorum [7] так, что первый член последовательности, а именно асимптота, возникает в результате деления 1 на 0. Поэтому поскольку единица, т. е. любая конечная линия, деленная на 0, дает асимптоту гиперболы, или бесконечную линию, то отсюда с необходимостью следует, что конечная линия, деленная на бесконечную, в частном дает 0, т. е. что pars infinitesima [8]

358

конечной линии есть именно ничто. Ибо в силу самой природы деления делимое, разделенное на частное, дает делитель. Сейчас человека, говорящего о бесконечно малых линиях, едва ли заподозрят в том, что он ничего под ними не подразумевает, но если он понимает их как реальные конечные количества, то попадает в безвыходные затруднения.

Рассмотрим вкратце спор между г-ном Ньювентейтом [9] и г-ном Лейбницем. Г-н Ньювентейт допускает, что бесконечно малые первого порядка являются подлинными количествами, но differentiae differentiarum [10], или бесконечно малые следующих порядков, он отбрасывает, приравнивая их к ничто. Это то же самое, как если бы сказать, что квадрат, куб или другая степень реального количества равны ничто, но это явно нелепо.

И снова г-н Ньювентейт выдвигает это в качестве самоочевидной аксиомы, т. е. что между двумя равными количествами не может быть вообще никакого различия, или, что то же самое, их различие равно нулю. Эту истину, какой бы очевидной она ни была, г-н Лейбниц старается подкрепить, утверждая, что равны не только те количества, между которыми нет никакого различия, но также и те, различие между которыми бесконечно (incomparably) мало. Quemadmodum, говорит он, si Iineae punctum alterius Iineae addas quantitatem non auges [11]. Но если отрезки делимы до бесконечности, то мне интересно знать, как вообще может существовать такая вещь, как точка? Или, если допустить, что существуют точки, то как можно считать за одно и то же прибавление к чему-либо неделимой точки или приращение (differentia), например, ординаты у параболы, которое далеко от того, чтобы быть точкой, так как само делимо на бесконечное число реальных количеств, из которых каждое в свою очередь может быть разделено in infinitum и т. д., согласно г-ну Лейбницу. Все это те трудности, в которых запутались знаменитые люди, применяя идею бесконечности к чрезвычайно малым, но реальным и способным к делению частям протяжения.

Подробнее об этом можно узнать в «Acta Eruditorum» за июль 1695 г., где, если верить французскому автору «Analyse des infiniment petits», г-н Лейбниц достаточно обосновал и доказал свои взгляды. Хотя и ясно, что он старается не для того, чтобы поставить их под сомнение, и, кажется, боится, что nimia scrupulositate arti inveniendi obex ponatur [12], как будто человек способен быть слишком точным в математике или будто бы принципы геометрии не должны быть столь же бесспорными, как те выводы, которые из них вытекают.

359

У д-ра Шайена в главе 4 его «Философских принципов естественной религии» [13] есть один аргумент, который касается бесконечно малых количеств. Вот его слова:

«Вся абстрактная геометрия зависит от возможности существования бесконечно больших и бесконечно малых количеств, и истины, которые открываются с помощью методов, зависящих от этих предпосылок, подтверждаются другими методами, которые имеют иные основания».

На это я отвечу, что допущение бесконечно малых количеств отнюдь не необходимо для развития современного анализа. Ибо г-н Лейбниц признает, что его Calculus differentialis [14] может быть доказан reductione ad absurdum [15] в духе древних; да и сэр Исаак Ньютон в своем последнем трактате сообщает нам, что его метод флюксий может быть выведен a priori без допущения бесконечно малых количеств.

Я не могу обойти вниманием одно место в трактате г-на Рэфсона «De Spatio Reali seu Ente Infinito» [16] (гл. З, с. 50), где он бесконечно малую частицу называет quasi extensa ". Но что г-н Рэфсон подразумевает под pars continui quasi extensa [18], я не могу понять. Я также прошу разрешения отложить рассмотрение того, что некоторые современные знаменитые авторы без всяких оговорок утверждают о сфере с бесконечным радиусом, о равностороннем треугольнике с бесконечной стороной, т. е. о таких понятиях, которые, если их тщательно исследовать, будут найдены не совсем свободными от непоследовательностей.

Мое мнение таково, что все споры о бесконечных [величинах] прекратятся и исследование бесконечно малых количеств больше не будет приводить математиков в тупик только в том случае, если они к своей математике присоединят метафизику и снизойдут до того, чтобы узнать от г-на Локка о том различии, которое существует между бесконечностью и бесконечным.

АНАЛИТИК, ИЛИ РАССУЖДЕНИЕ, АДРЕСОВАННОЕ НЕВЕРУЮЩЕМУ МАТЕМАТИКУ, ГДЕ ИССЛЕДУЕТСЯ, ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ПРЕДМЕТ, ПРИНЦИПЫ и ЗАКЛЮЧЕНИЯ СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА БОЛЕЕ ОТЧЕТЛИВО ПОЗНАВАЕМЫМИ и С ОЧЕВИДНОСТЬЮ ВЫВОДИМЫМИ, ЧЕМ РЕЛИГИОЗНЫЕ ТАИНСТВА и ПОЛОЖЕНИЯ ВЕРЫ

1. Сэр, хотя вам я не известен, мне известна та репутация, которую вы приобрели в отрасли знания, избранной вами в качестве предмета для изучения, тот авторитет, который вы в силу упомянутого присваиваете себе в делах, далеких от вашей профессии, и то, как вы и еще слишком много лиц, подобных вам, злоупотребляете этим незаконным авторитетом, вводя в заблуждение неосторожных людей в вопросах величайшей важности, в отношении которых ваши познания в математике ни в коей мере не дают оснований вам быть компетентным судьей. Хотя справедливость и здравый смысл склоняют нас к тому, чтобы не принимать во внимание мнение других людей в вопросах, которых эти другие не рассматривали и не изучали, тем не менее находятся люди, громогласно претендующие на упомянутые выше качества, которые делают как раз то, что они, казалось бы, должны презирать, драпируются в мнения других людей и проявляют почтительное отношение по преимуществу к вашим суждениям; господа, которые воображают себя величайшими умами человечества, людьми, более всех сведущими в отвлеченных идеях и никогда ничего не принимающими на веру, но всегда ясно видящими свой путь, так как ваше постоянное занятие состоит в том, чтобы извлекать истину при помощи самых правильных выводов из самых очевидных принципов. Будучи уже таким образом в душе предубежденными, они подчиняются вашим решениям в таких вопросах, которые вы не имеете права решать. и мне достоверно известно, что это самый краткий путь сделать людей неверующими.