Сочинения в двух томах: Том 1

Вообще если мы можем мыслить длину без ширины в меру устранения ширины, то, поскольку ничто устраняющее не находится в наличии, и длина без ширины не существует. Поэтому не существует и линия. Ведь конь есть нечто существующее в действительности, а "не конь" не существует, и человек существует, а "не человек" не существует. Следовательно, если мы имеем некоторую ширину или некоторую длину, они будут в наличии. А не имеющее ширины не будет существовать в действительности. Как заблуждаются те, которые говорят, что они получают понятие беспредельной величины как тела путем прибавления одной величины к другой, а на самом деле они получают в результате прибавления многих величин [только] какую-то наи

309

большую, и она не беспредельна, но ограничена (ведь то, что они мыслили крайним, доступно мысли, а доступное мысли ограничено, поскольку остальное, еще не воспринятое мыслью, показывает, что воспринятое не беспредельно), так, следовательно, и в этом случае сокращение ширины, когда мысль оканчивается на наименьшей ширине, есть ширина, а не длина без ширины.

Еще иначе: если те, кто мыслит длину с некоторой шириной, могут лишить ее ширины и мыслить длину без ширины, то можно будет и тем, кто мыслит плоть со свойством ранимости, по отнятии ранимости мыслить плоть неранимой. И возможно будет тем, кто мыслит тело со свойством твердости, по отнятии твердости принять тело в качестве лишенного твердости. Это, однако, невозможно, поскольку то, что мыслится неранимым, не есть тело (раз понятие тела включает свойство ранимости) и то, что лишено твердости, не есть тело (раз понятие тела включает свойство твердости). Итак, и длина, мыслимая без ширины, не может быть длиной (раз понятие длины включает некоторую ширину).

Однако по крайней мере Аристотель [99] не считал немыслимой выставляемую у геометров длину без ширины (длину стены, говорит он, мы принимаем без присоединения ее к ширине стены). Но он заблуждался. Действительно, когда мы принимаем длину стены без ширины, то мы принимаем ее не безо всякой ширины, но без ширины именно стены. Ведь можно же, сочетав длину стены с любой шириной, какова бы эта последняя ни была, иметь о ней понятие так, чтобы принимать длину не без всякой ширины, а [только] без этой некоторой ширины. Аристотелю надлежало показать не то, что можно мыслить длину без какой-либо ширины, а то, что ее можно мыслить без всякой ширины. Но он этого не показал.

310

Кроме того, если геометры называют линию не только длиной без ширины, но и границей плоскости, то можно и в более общей форме строить апории относительно линии и плоскости. Действительно, если линия есть граница плоскости, будучи длиной без ширины, то, конечно, по приложении плоскости к плоскости или две линии, [ограничивающие эти плоскости], становятся параллельными, или образуется из обеих одна. И если две параллельные линии становятся одною, то, поскольку линия есть граница плоскости и плоскость граница тела, когда две линии стали одной, две плоскости тоже станут одной. Таким образом, и два тела станут одним телом, и приложение уже не будет приложением, но соединением. Это, однако, невозможно. Ведь при взаимном приложении тел друг к другу в некоторых случаях естественно происходит соединение (например, в случае с жидкостями), в других же не происходит (камень с камнем и сталь со сталью не превращаются в единство в случае взаимоприложения). Поэтому две линии не могут стать одною. И иначе: если мы допустим, что они стали одною и вследствие этого произошло соединение тел, то разделение их ввиду насильственности разрыва должно будет происходить не по прежним границам, но во все новых и новых частях. Но это не так. В границах сохраняется та же самая природа и до взаимного приложения, и после разделения. Следовательно, две параллельные линии не становятся одною.

Вместе с этим если две линии становятся одною, то прилагаемые друг к другу тела потеряют один край. Ведь две линии стали одною, а одна по необходимости должна иметь один край. Но прилагаемые друг к другу тела во всяком случае не теряют края. Следовательно, две линии не могут стать одною. Если же параллельных линий остается две, то соединение двух будет больше одной. Если же соединение двух линий будет больше одной линии, то каждая из них будет иметь ширину, которая в соединении с другою увеличивает расстояние. Таким образом, линия не есть длина без ширины. Или, если она есть таковая, то, как мы показали, должна будет, поколебаться и самая очевидность.

Итак, вот что прежде всего следует сказать против такого рассуждения у математиков относительно тел и их границ.

311

Идя дальше, мы рассмотрим, может ли преуспеть их рассуждение с точки зрения их собственных гипотез. Итак, геометрам угодно, чтобы прямая линия, вращаясь, всеми своими частями описывала круги. Но, очевидно, этой их теореме как раз противоречит их же собственное [положение], что линия есть длина без ширины. Ведь поскольку всякая часть линии, как они говорят, содержит знак точки, а знак точки своим движением описывает круг, то, когда прямая линия, вращаясь и всеми своими частями описывая круг, измерит собою расстояние на плоскости от центра до крайней окружности, тогда получающиеся при этом концентрические круги или сольются, или будут находиться друг от друга на известном расстоянии. Который бы из этих двух [случаев] ни избрали геометры, они все равно должны впасть в прямо-таки неразрешимую апорию.

В самом деле, если упомянутые круги находятся на известном расстоянии друг от друга, то это значит, что некоторая часть плоскости не образует круга и некоторая часть линии не описывает окружности - именно та, которая соответствует этому [не образовавшему круга] протяжению поверхности.

Это, однако, нелепо. Ведь линия, конечно, имеет знак точки в этой определенной части, и эта точка своим вращением в этой части описывает окружность. Ведь то, что линия не имеет знака точки в какой-нибудь своей части или знак точки своим движением не описывает окружности, - это противоречит рассуждению геометров. Если же окружности сливаются, то они непрерывны или так, что занимают одно и то же место, или так, что они мыслятся одна за другой, причем между ними не может поместиться ни один знак, поскольку попадающий между ними знак точки должен описывать окружность. И если они занимают одно и то же место, то они все станут одним [кругом], и поэтому наибольший круг не будет различаться от наименьшего. Ведь если самый внутренний круг, расположенный у центра, - наименьший, а самый внешний круг, расположенный у периферии, - наибольший и при этом все круги занимают одно и то же место, то наименьший круг будет равен наибольшему. А это противоречит очевидности. Следовательно, круги не сливаются настолько, чтобы занимать одно и то же место. Если же они так расположены по отношению друг к другу, что между ними не помещается никакой знак точки, то они занимают ширину плоскости от центра до крайней окружности. И вот поскольку то, что заполняет ширину, по необходимости имеет ширину, то окружности, заполняющие ширину плоскости, будут иметь ширину. Но окружности суть линии; значит, линии не лишены ширины.

312

Можно построить аналогичное доказательство, имеющее тот же самый смысл. Геометры говорят, что прямая, описывающая круг, вращаясь, описывает круг сама собою. Поэтому мы скажем им следующее: "Если описывающая круг прямая описывает его сама собою, то линия не есть длина без ширины; однако, прямая, описывающая круг, по их мнению, сама собою описывает круг; следовательно, линия не есть длина без ширины". Ведь когда прямая, идя от центра, вращается и сама собою описывает круг, то прямая линия или проходит по всем частям поверхности, находящейся внутри окружности, или по некоторым проходит, а по некоторым нет. Но если она проходит по некоторым частям, а по другим не проходит, то, конечно, она не описывает круга, проходя по некоторым частям плоскости, а другие минуя. Если же она проходит по всем частям, она измерит [собою] всю ширину внутри окружности, а то, что измеряет ширину, само должно иметь ширину. Ведь то, что способно измерить ширину, обладает шириной, при помощи которой измеряет. Следовательно, и поэтому необходимо сказать, что линия не есть длина без ширины.