Страница 10 из 40
Но умножение на –1 делает такое же сальто на 180°. Вот поэтому i2 = –1.
Компьютеры вдохнули новую жизнь в комплексные числа и вековую проблему извлечения корней. Когда ПК не используются нами для веб-серфинга или отправки и получения электронной почты, они на наших столах способны обнаружить такое, что древние и представить себе не могли.
В 1976 году мой коллега по Корнуолльскому университету Джон Хаббард попытался применить в задачах по динамике метод Ньютона[40], мощный алгоритм для поиска корней уравнений в комплексной плоскости. В соответствии с этим методом выбирается начальное значение (близкое к значению корня) и неоднократно производятся определенные вычисления. При этом на каждом последующем шаге используется значение, полученное на предыдущем. Этот метод позволяет быстро приблизиться к корням уравнения.
Хаббард заинтересовался множественными корнями. Какой из множественных корней можно найти методом Ньютона? Хаббард доказал, что из двух корней всегда будет найден тот, который наиболее близок к начальному значению. Однако при наличии трех и более корней его предыдущее доказательство не сработало.
Тогда Хаббард провел так называемый численный эксперимент. Он запрограммировал компьютер на выполнение метода Ньютона, настроив устройство так, чтобы оно маркировало цветом миллионы различных начальных значений в соответствии с тем, к какому корню они приближались, и меняло интенсивность цвета в зависимости от скорости их приближения к корню.
До того как Хаббард увидел результат, он предполагал, что к корням уравнения быстрее всего притянутся наиболее близкие к ним по значению, и это отобразится в виде ярких точек на сплошном цветовом пятне. Но вот границы между пятнами? О них он даже не думал.
Компьютер выдал неожиданный результат.
Пограничная область между пятнами напоминала психоделические галлюцинации[41]. Цвета в ней смешивались беспорядочно, соприкасаясь друг с другом в невероятно большом количестве точек. Они всегда располагались в трех направлениях. Другими словами, где бы ни появлялись два цвета, между ними всегда присутствовал третий.
Расширение границ выявило наличие пятен внутри пятна.
Структура была фрактальной[42] — сложной формы, внутренняя структура которой повторялась во все более мелких масштабах.
Кроме того, вблизи границы царил хаос. Две точки могли вначале находиться очень близко друг к другу, какое-то время попрыгать рядышком, а потом разойтись к разным корням. Выбранный корень был так же непредсказуем, как выигрышные числа при игре в рулетку. Мелочи, крошечные, незаметные изменения в начальных условиях могли полностью изменить всю картину.
Работа Хаббарда была одной из первых вылазок в область науки, ныне называемой комплексная динамика, — потрясающее сочетание теории хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В некотором смысле это позволило геометрии вернуться к своим корням. В 600 году до Рождества Христова руководство для строителей храма в Индии[43], написанное на санскрите, давало подробные инструкции, как при проектировании ритуальных алтарей вычислять квадратные корни. Спустя свыше 2500 лет математики все еще ищут корни, но в настоящее время инструкции пишутся в двоичном коде.
9. Ванна моя преисполнена[44]
Дядюшка Ирв был братом моего отца и его компаньоном. Они владели обувным магазином в нашем городе. Так вот, он хорошо разбирался в практической стороне вещей и по большей части находился наверху в своем кабинете, потому что лучше управлялся с цифрами, чем с клиентами.
Когда мне было лет десять или одиннадцать лет, дядя Ирв задал мне мою первую арифметическую задачу[45]. Этот день навсегда врезался мне в память, вероятно, потому, что я ошибся и чувствовал смущение.
В условии задачи говорилось о заполнении ванны водой[46]. Если включить кран с холодной водой, то ванна наполнится за полчаса, а если с горячей — то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить ванну, когда включены оба крана?
Я уверенно, вероятно, как и многие из вас, ответил: «Сорок пять минут». Дядюшка Ирв покачал головой и усмехнулся. И своим высоким гнусавым голосом он преподал мне урок.
«Стивен, — обратился ко мне он, — скажи, сколько воды будет в ванне через минуту». Холодная вода заполняет ванну за 30 минут, так что за одну минуту она заполнит ее часть. Но горячая вода льется медленнее и наполнит ванну через 60 минут, то есть за минуту она заполнит только часть ванны. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она заполняет + ванны за минуту.
Чтобы сложить эти дроби, обратите внимание, что наименьший общий знаменатель равен 60. Преобразовав в , получаем
Это означает, что вода из двух кранов за минуту заполнила ванны. Следовательно, ванна наполнится через двадцать минут.
С тех пор на протяжении многих лет я неоднократно вспоминал о той ванне, причем всегда с любовью к дядюшке Ирву и самой задаче. Мне преподали урок, как просто ради удовольствия решать задачи, основываясь на интуиции, и как найти приближенное решение, если сложно отыскать точное.
Рассмотрим мое первоначальное предположение — 45 минут — и, решив задачу интуитивно (в соответствии со здравым смыслом), поймем, что этот ответ не может быть правильным. Действительно, он абсурден. Чтобы понять почему, предположим, что горячая вода отключена, тогда холодная вода заполнит ванну за 30 минут. Поэтому какой бы дядюшка Ирв ни задал вопрос, ответ должен быть «меньше 30 минут»; если в ванну льется не только холодная, но и горячая вода, то ванна заполнится быстрее.
Правда, этот вывод не столь убедителен, как ответ «20 минут», который мы получили методом, предложенным дядюшкой Ирвом, зато он не требует никаких расчетов.
Другой способ упростить задачу — предположить, что вода из обоих кранов течет с одинаковой скоростью. Причем ванна при одном открытом кране заполняется за 30 минут. Тогда очевидно, что она наполнится за 15 минут, так как каждый кран выполнит половину работы.
Отсюда сразу становится ясно, что, по расчетам дядюшки Ирва, наполнение ванны должно занимать больше пятнадцати минут. Почему? Потому что «быстрый + быстрый» побьет «медленный + быстрый». Наша условно симметричная задача имеет два быстрых крана, в то время как у дядюшки Ирва один медленный и один быстрый. А поскольку 15 минут — ответ задачи для двух быстрых кранов, то ванна дядюшки Ирва будет наполняться дольше.
Получается, что благодаря рассмотрению двух гипотетических случаев — в первом ванна заполняется только холодной, так как горячая отключена, а во втором — горячей и холодной с одинаковой скоростью, — мы узнали, что ответ лежит в пределах 15–30 минут. В более сложных задачах, где порой невозможно найти точный ответ, и не только в математике, но и в других областях, такой подход может очень пригодиться.
40
Прекрасную журналистскую работу о Джоне Хаббарде можно найти в книге J. Gleick, Chaos, р. 217 (Viking, 1987). Собственный взгляд Хаббарда на метод Ньютона отображен в разделе 2.8 книги J. Hubbard and B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 4th edition (Matrix Editions, 2009).
Для читателей, которые хотят углубиться в математический аппарат метода Ньютона, более сложное, но все же довольно понятное объяснение дано в книге H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals (Springer, 1986), chapter 6; также см. статью Эдриана Двади (сотрудник Хаббарда), озаглавленную Julia sets and the Mandelbrot set, в этой же книге.
41
Хаббард не был первым математиком, поставившим вопрос о применении метода Ньютона, в комплексной плоскости. Артур Кэли, британский математик, задал его еще в 1879 году. Он также рассмотрел квадратичный и кубический полиномы и понял, что первый случай гораздо проще, чем второй. Хотя тогда он еще не мог знать о фракталах, которые были обнаружены век спустя, он прекрасно понимал, что есть риск возникновения определенных проблем, если корней окажется больше двух. В его небольшой (на одну страницу) статье Desiderata and suggestions: No.3—the Newton-Fourier imaginary problem, American Journal of Mathematics, 2(1), March 1879, p. 97, с которой можно ознакомиться на сайте http://www.jstor.org/pss/2369201, заключение звучит как сдержанное предупреждение: «Для квадратного уравнения решение легко и элегантно, но представляется, что решение кубического уравнения окажется значительно сложнее».
42
Снимки, представленные в этой главе, были рассчитаны методом Ньютона, примененного для нахождения корней многочлена z3 — 1. Его корни — три кубических корня из 1. Для этого случая в соответствии с алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости выбирается точка z, она и переносит значение корня в новую точку, рассчитанную по формуле
z — (z3 — 1)/(3z2).
Именно это значение и становится следующим значением z. Данный процесс повторяется, пока z не подходит достаточно близко к корню или, что эквивалентно, пока z3 — 1, не подойдет достаточно близко к нулю, где под «достаточно близко» понимается очень маленькое расстояние, выбранное программистом. Затем все исходные точки, которые приводят к определенному корню, окрашиваются в одинаковый цвет. Таким образом, точки красного цвета сходятся к одному корню, точки зеленого — к другому, а синего — к третьему. Снимки окончательного фрактала Ньютона были любезно предоставлены Саймоном Татемом. Дополнительные сведения о его работе вы найдете на странице Fractals derived from Newton-Raphson iteration на сайте: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.
Видеоанимация фрактала Ньютона сделана Teamfresh. Потрясающе глубокое масштабирование других фракталов, в том числе знаменитого множества Мандельброта, можно увидеть на сайте Teamfresh по адресу http://www.hd-fractals.com.
43
Для знакомства с древнеиндийскими методами нахождения квадратного корня см. работу D. W. Henderson and D.Taimina, Experiencing Geometry, 3rd edition (Pearson Prentice Hall, 2005).
Прим. ред.: См. также Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. М.: Учпедгиз, 1960.
44
В названии автор перефразирует известную фразу из Библии, Псалтырь (22:5) «Ты приготовил предо мною трапезу в виду врагов моих; умастил елеем голову мою; чаша моя преисполнена» (англ. My Сup Ru
45
Большое количество классических арифметических задач находятся на http://MathNEXUS.wwu.edu/Archive/oldie/list.asp.
Прим. ред.: В русскоязычном интернете очень много сайтов, которые предлагают арифметические задачи для «решателей» разного возраста — от дошкольников до седых ветеранов. Вот несколько из них: Эрудит. net (http://eruditov.net/publ/math/1); Математические задачи — Логика и рассуждения (http://www.smekalka.pp.ru/math_logic.html); Математические задачи (http://www.prostomac.com/tag/matematicheskie-zadachi/); Математика (http://nazva.net/rubric/11/).
46
Более сложная задача с ванной появилась в драме 1941 года How Green Was My Valley («Как зелена моя долина»). Клип к этому фильму можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/valley.html. И пока вы еще там, посмотрите ролик из комедии о бейсболе Little Big League («Маленькая большая лига»), который можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/m4v/league.m4v.
В этом фильме есть задача о покраске домов: «Если я могу покрасить дом за три часа, а ты — за пять, сколько нам потребуется времени на покраску дома, если мы будем работать вместе?».
На экране мы видим, как бейсболисты дают различные глупые ответы. «Все очень просто, пять умножить на три, так что это пятнадцать». «Нет, нет, нет, посмотрите. Это займет восемь часов: пять плюс три, вот и восемь». После еще нескольких промахов один игрок наконец отвечает правильно: 1⅞ часов.