Страница 32 из 54
Более ранние мои замечания по этой теме см. под заголовком «В защиту платоновского реализма» — так называется глава у моей книги «Джинн из гиперпространства» (Амхерст, штат Нью-Йорк: «Prometheus Books», 2008).
Брайан Дэвис в своей статье «Дайте платонизму умереть» («IMS Newsletter»[79], июнь 2007) определяет математический платонизм как убежденность в том, что математические объекты существуют «в некоем математическом царстве, за пределами времени и пространства». Но у меня (как, полагаю, и у большинства математических платоников) — иные убеждения. Аристотель, математический реалист, с радостью ухватился за платоновские универсалии трансцендентального царства («оранжевость», «коровность», «двоечность» и т. п.), приспособив их к объектам, существующим во времени и пространстве. Так, геометрическая форма вазы находится «здесь», в данной вазе, эта форма не плавает где-то возле платоновской «пещеры».
В качестве примера можно рассмотреть камешки. Пусть каждый из них — модель числа 1. В таком случае очевидно, что все теоремы арифметики можно доказать, перекладывая камешки. В принципе таким путем можно даже доказать, что произвольно выбранное число (не важно, насколько большое) является простым или составным.
Рубен Херш, мой давний оппонент, в своей статье «О платонизме» пишет:
На мой взгляд, платонизм (имея в виду обычный, бытовой платонизм типичного практикующего математика) справедливо признаёт существование математических фактов и объектов, не управляемых волей или прихотью конкретного математика, но обрушиваемых на него как объективные факты и сущности, о которых он должен узнавать и чье независимое существование и чьи качества он стремится обнаруживать и исследовать.
Что ж, профессор Херш, добро пожаловать в Платоновский клуб! Любой платоник всецело согласится с вашими словами. Но затем Херш делает невероятное заявление: «Ошибка платонизма — в неверной интерпретации этой объективной реальности, в выведении ее за рамки человеческой культуры и сознания».
Математические теоремы и объекты, продолжает Херш, подобно «многим другим реалиям культуры» являются «внешними и объективными с точки зрения любой отдельной личности (курсив Херша), но при этом внутренними, историчными и социально обусловленными с точки зрения данного социума или данной культуры в целом (по-прежнему курсив Херша)».
Получается, Херш все-таки не платоник! Неужели он вправду отрицает, что перекладывание камешков с целью доказать, скажем, что число 17 является простым, — это процесс, протекающий «здесь» независимо отданной культуры? Разумеется, манипулирование камешками является культурно обусловленным — в том тривиальном смысле, что вообще всякая человеческая деятельность так или иначе обусловлена культурой. Но не более того. Тот факт, что число 17 — простое, очевидным образом реализуется «здесь», в поведении камешков: по сути, аналогичным образом присутствует «здесь» эллиптическая орбита Марса или спиральная форма нашей галактики.
Херш буквально помешан на втискивании математики в социальность; в своей книге «Что же такое математика?» («Oxford University Press», 1997) пишет даже (крепитесь!), что 8+5 не обязательно равняется 13, ибо у отдельных небоскребов нет тринадцатого этажа. Стало быть, если вы доедете на лифте до восьмого этажа, а потом подниметесь еще на пять этажей, вы окажетесь на четырнадцатом этаже. Вероятно, Херш предполагает тем самым, что в субкультуре некоторых высотных зданий законы арифметики постоянно нарушаются?
Надо ли мне отмечать здесь, что с тех пор, как Декарт арифметизировал геометрию, ее модели тоже в принципе возможно строить с помощью камешков? И в самом деле, Вселенная заполнена моделями почти всех математических областей, объектов и теорий. Любой тополог сумеет доказать, построив грубую модель из конверта и затем разрезав ее пополам, что рассечение бутылки Клейна на две равные части даст две зеркальные ленты Мёбиуса[80].
Для комплексных чисел и производных функций, возможно, не существует материальных моделей, однако и эти объекты вкраплениями испещряют Вселенную. Ньютон и Лейбниц, если выражаться обиходным языком, изобрели дифференциальное и интегральное исчисление, но в более глубинном смысле они открыли законы, согласно которым живет Вселенная. Множество Мандельброта не находится вне пространства и времени[81]. Оно существует на компьютерных экранах. Неужели антиреалисты считают, что математик, занимающийся свойствами Мандельбротова множества, на самом деле изучает структуры внутри собственного мозга, так как его глаза и мозг воспринимают экран, или что он исследует часть человеческой цивилизации и культуры, к которой он принадлежит, — потому что именно эта цивилизация создала его компьютер?
Подобные рассуждения грешат таким же искажением научного языка, как и заявления, что астрономы, мол, изучают «нездешние» образования, поскольку телескопы — часть человеческой культуры, не говоря уж о том, что и вся астрономия тоже является ее частью. Отсюда недалеко до утверждений, что и вся Вселенная существует лишь потому, что ее наблюдают человеческие цивилизации (а не наоборот — мы существуем, потому что нас создала Вселенная).
Возможно, кардинальные числа, введенные Кантором[82], не находятся «здесь», но кто знает?.. Не исключено, что они скрываются где-нибудь в космосе. Подобно физикам, математики часто совершают открытия, исследуя материальные модели. Классический пример: Фрэнк Морли вывел свою «теорему Морли», изучая углы бумажных моделей произвольных треугольников — моделей таких же «здешних», как камни или звезды. Никоим образом нельзя сказать, будто Морли изобрел свою теорему или нашел ее где-то внутри своего черепа или культуры, к которой принадлежал.
В своей статье Херш справедливо называет меня теистом. И добавляет, что я верю в действенность молитвы. Атеисту Хершу это кажется оскорблением. Что ж, все зависит от значения слова «действенность». Я не верю, что если кто-нибудь помолится о победе футбольной команды или о выздоровлении любимого человека, больного раком, то Господь приложит десницу к Вселенной и тут же ее изменит. Я могу допустить, что Бог вполне способен менять вероятности исхода событий на квантовом уровне, — в наши дни эта догадка популярна среди теистов, — но все же я склонен сомневаться и в этом.
Однако я в самом деле считаю, что молитвы о прощении оправданны, а молитвы о даровании мудрости помогают принимать верные решения. Гилберт Честертон замечает где-то, что для атеиста настанет грустный день, когда с ним произойдет что-то чудесное, а ему будет некого за это поблагодарить.
Херш пишет также, что как-то раз я обвинил его в сталинизме. Не могу себе представить, как бы я мог такое сделать. Если все-таки сделал — приношу свои извинения. Возможно, я однажды напомнил ему душераздирающую сцену из оруэлловского «1984», где чиновник ухитряется, пытая узника, заставить того поверить, что, когда два пальца прибавляют к двум, появляется еще и пятый.
Кроме того, Херш заявляет: один раз я обвинил его в том, что он солипсист. И снова я не совсем понимаю, что он имеет в виду. Не исключаю, что я описывал его антиреализм как туманную разновидность социального (коллективного) солипсизма. Херш — большой поклонник статьи антрополога Лесли Уайта «Место математической реальности». Ее место, как заявляет Уайт, не во внешнем мире, а в человеческой культуре. Математические теоремы сходны в этом смысле с правилами дорожного движения, модами, живописью, музыкой и т. п.
Конечно же это не солипсизм в обычном смысле слова. За пределами психиатрических лечебниц вообще нет истинных и последовательных солипсистов. Однако антиреализм Уайта и Херша приправлен социальным солипсизмом — поскольку, по их утверждениям, если исчезнет человеческая цивилизация, уйдет в небытие и вся математика. Ну да, Вселенная при этом не погибнет, однако больше не останется никого, кто занимался бы математикой (разве что ученые на других планетах). Полагаю, Херш согласится: то, что мы называем математическими структурами и явлениями, будет по-прежнему существовать, однако если не останется ни одного разумного существа, которое бы изучало их, во Вселенной не будет ничего, что заслуживало бы названия математики.
79
«Бюллетень «Intelligent Manufacturing Systems»».
80
Инструкции, объясняющие, как сделать бутылку Клейна из конверта, см. в главе 2 моей книги Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American (New York: W. H. Freeman, 1971).
81
Множество точек на комплексной плоскости, обладающих определенными свойствами. Понятие введено французским математиком Бенуа Мандельбротом (р. 1924). основателем фрактальной геометрии.
82
Кардинальное число множества — обобщение понятия количества (числа элементов множества), имеющее смысл для всех множеств, включая бесконечные. Введено немецким математиком Георгом Кантором (1845–1918), создателем теории множеств