Страница 92 из 95
IV. ФОРМУЛА, СВЯЗЫВАЮЩАЯ СКОРОСТЬ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ С ТЕПЛОТВОРНОСТЬЮ ТОПЛИВА
Скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя зависит от теплотворности применяемого топлива и степени совершенства двигателя:
где Смакс. — максимальная теоретическая скорость истечения в м/сек,
Н — теплотворность топлива, то есть количество тепла, выделяющегося при сгорании 1 кг топлива (измеряется в ккал/кг).
Значит, скорость истечения изменяется пропорционально корню квадратному из теплотворности топлива.
На сколько увеличится теоретическая скорость истечения газов при переходе с пороха, имеющего теплотворность 1000 ккал/кг, на жидкое топливо (керосин + жидкий кислород) с теплотворностью 2400 ккал/кг?
Cпороха = 91,5√1000 = 2890 м/сек,
Cж. топл. = 91,5√2400 = 4490 м/сек,
Конечно, истинные скорости истечения из-за различных потерь в двигателе будут иными, значительно меньшими (для пороха 1400–1800 м/сек, для жидкого топлива 2200–2500 м/сек).
В двигателе тепловая энергия топлива преобразуется в кинетическую энергию вытекающих газов. Если это преобразование происходит без потерь, то по закону сохранения энергии где А — тепловой эквивалент работы;
Следовательно, С =√2gH/A = √2·9,81·427 Н ≈ 91,5√Н
V. ФОРМУЛА, СВЯЗЫВАЮЩАЯ СКОРОСТЬ ИСТЕЧЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ ГАЗОВ В ДВИГАТЕЛЕ
Влияние топлива на скорость истечения непосредственно сказывается через параметры газов в двигателе. Эта зависимость дается формулой где Т — абсолютная температура газов в камере сгорания двигателя;
μ — молекулярный вес продуктов сгорания;
const — приближенно постоянная величина для данного двигателя и данных условий его работы (точнее, она несколько зависит и от состава продуктов сгорания).
Значит, скорость истечения газов прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры газов и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса газов.
На сколько изменится скорость истечения газов из жидкостного ракетного двигателя, если температура в нем увеличится с 2500 до 3000°К, а молекулярный вес газов уменьшится с 18 до 14?
По приведенной выше формуле
Значит, скорость истечения увеличится на 24 процента.
Раздел второй
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
I. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
где F — сила притяжения между двумя небесными телами;
f — константа тяготения (гравитационная постоянная),
m1, m2 — массы притягивающихся тел;
r — расстояние между центрами тяжести этих тел.
Какая сила притяжения больше и на сколько — Луны и Солнца или Луны и Земли?
Сила притяжения Луны и Солнца:
Сила притяжения Земли и Луны:
Очевидно,
Значит, Луна притягивается Солнцем примерно вдвое сильнее, чем Землей.
Вес тела и ускорение земного тяготения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли:
Здесь G и g — соответственно вес тела и ускорение земного тяготения на высоте Н над Землей;
R — радиус земного шара (R — 6378 км);
G0 — вес тела у земной поверхности.
На сколько уменьшатся вес и ускорение земного тяготения на высоте орбиты спутника, равной 800 км?
Изменение веса:
то есть вес уменьшится на 21 процент.
На столько же уменьшится и ускорение земного тяготения, то есть g = 9,81·0,79 = 7,75 м/сек2.
II. ИСКУССТВЕННЫЙ СПУТНИК ЗЕМЛИ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
А. Круговая скорость
Как найти величину круговой скорости, то есть той скорости, с которой должен двигаться спутник, чтобы его высота над Землей оставалась неизменной?
Высота спутника не меняется в том случае если он каждое мгновение на столько же удаляется от Земли в своем движении по инерции, на сколько приближается к ней в результате непрекращающегося падения на Землю. Это и позволяет найти необходимую круговую скорость спутника.
Рассмотрим движение спутника за 1 секунду, причем для простоты будем считать, что спутник движется у самой поверхности Земли, то есть высота равна нулю. Тогда за 1 секунду спутник приблизится к центру Земли, в результате притяжения к ней, на величину
На эту же величину он должен удалиться от центра Земли, что позволяет построить прямоугольный треугольник (см. рисунок).
По теореме Пифагора
Эту же задачу можно решить и иначе. Если высота спутника не меняется, то это значит, что его центростремительное ускорение в точности равно ускорению земного тяготения. (Это вовсе не означает, как иногда пишут, что центробежная сила «уравновешивает» вес спутника.)
Следовательно,
и
как и ранее.
Очевидно; на высоте Н
Но так как то
Это значит, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до центра Земли.