Страница 26 из 47
При подсчете вероятностей легко допустить ошибку. Перед вами супружеская чета — кот и кошка.
М-р Кэт. Дорогая, сколько котят родилось у нас на этот раз?
М-с Кэт. Не видишь, что ли? Четверо.
М-р Кэт. А сколько из них мальчики?
М-с К э т. Трудно сказать. Пока я этого и сама не знаю.
М-р Кэт. Мало вероятно, чтобы все четверо — были мальчиками.
М-с Кэт. Мало вероятно, чтобы все четверо были девочками.
М-р Кэт. Возможно, среди них только один мальчик.
М-с Кэт. Возможно, среди них только одна девочка.
М-р Кэт. К чему гадать? Обратимся лучше к теории вероятностей. Каждый котенок с вероятностью 1/2 либо мальчик, либо девочка. Следовательно, если у нас четверо котят, то наиболее вероятно, что среди них два мальчика и две девочки. Ты еще никак их не назвала, дорогая?
Правильно ли рассуждал м-р Кэт? Проверим его теорию. Пусть М означает «мальчик», а Д — «девочка». Выпишем все 16 возможных комбинаций.
Только в 2 из 16 случаев все четверо котят одного пола. Вероятность рождения 4 мальчиков или 4 девочек составляет поэтому 2/16 или 1/8. М-р Кэт был прав, считая такое событие маловероятным.
А какова вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек?
М-р Кэт считал такую комбинацию наиболее вероятной. Два мальчика и две девочки рождаются в 6 случаях из 16. Вероятность такой комбинации равна 6/16 или 3/8, что больше, чем 1/8. Возможно, м-р Кэт прав.
Для того чтобы окончательно выяснить, прав ли м-р Кэт, нам осталось вычислить вероятность рождения трех мальчиков и одной девочки или трех девочек и одного мальчика. Они рождаются в 8 случаях из 16, поэтому комбинация 3: 1 встречается с вероятностью 8/16, или 1/2, то есть более вероятна, чем комбинация 2:2. Не ошиблись ли мы?
Если мы правильно вычислили все вероятности, то они в сумме должны составлять 1. Их сумма действительно равна 1. Следовательно, мы учли все возможные пропорции полов в группе из 4 котят.
М-р Кэт ошибался. С наибольшей вероятностью можно утверждать, что у него родились либо 3 сына и 1 дочь, либо 3 дочери и 1 сын.
Большинству людей кажется удивительным, что в семье с четырьмя детьми более вероятно встретить трех мальчиков и одну девочку или трех девочек и одного мальчика, чем двух мальчиков и двух девочек.
Тем не менее это действительно так, в чем нетрудно убедиться, рассматривая достаточно длинную серию бросаний 4 монет. Если вы запишете исход каждого бросания, то через 100 бросаний убедитесь, что примерно в 50 случаях 3 монеты выпадали одной стороной, а 1—другой и только в 33 случаях 2 монеты выпадали одной стороной и 2 монеты — другой стороной.
Возможно, вы захотите узнать вероятности различных пропорций между числом мальчиков и девочек в семьях с 5 и 6 детьми. Эти вероятности также можно вычислить, составляя подробные перечни всех возможных комбинаций, но такой подход слишком громоздкий. Более изящные и короткие способы вычисления интересующих вас вероятностей вы найдете в различных книгах по теории вероятностей.
Столь же расходится с интуицией и ответ аналогичной задачи о наиболее вероятном распределении 4 мастей во взятке при игре в бридж. С наименьшей вероятностью все 13 карт во взятке могут оказаться одной масти. (Шансы против того, что вам при раздаче достанутся 13 карт одной масти, составляют 158 753 389 899 к 1.) Но какое распределение мастей наиболее вероятно?
Даже искушенные игроки в бридж нередко отвечают, будто наиболее вероятно распределение 4, 3, 3, 3, но это не верно: наиболее вероятно распределение 4, 4, 3, 2. Взятка с таким распределением мастей встречается примерно с частотой 1:5, в то время как распределение 4, 3, 3, 3 встречается с частотой 1 к 9 или 10. Даже распределение 5, 3, 3, 2 встречается чаще — с частотой примерно 1:6.
Время от времени приходится слышать или даже читать о том, будто кому-то из любителей бриджа при раздаче досталось 13 карт одной масти. Шансы против такого события астрономически велики. Такого рода истории — либо розыгрыш, либо кто-то из игравших, желая подшутить над партнером, тайком подтасовал карты, либо раздающий, распечатав новую колоду карт, случайно дважды идеально перетасовал ее внахлест. При идеальном тасовании внахлест колоду делят точно пополам и, держа одну половину в правой, а другую в левой руке, сбрасывают поочередно по одной карте из каждой руки на стол так, чтобы они ложились внахлест. В только что распечатанных колодах карты подобраны по мастям. После двух идеальных тасований внахлест, сняв колоду любым образом, раздающий получит возможность раздать 4 взятки, в каждой из которых все карты будут одной масти.
Во многих азартных играх нельзя полагаться на интуицию, ибо последствия могут быть самыми неприятными. Вот, например, один нехитрый жульнический трюк с 3 картами и шляпой.
Взглянув в зеркало, вы легко поймете, как сделаны эти карты: одна карта с двух сторон выглядит как туз пик, другая с одной стороны выглядит как туз пик, а с другой — как туз бубен, и третья с двух сторон выглядит как туз бубен.
«Банкомет» кладет все три карты в шляпу, перемешивает их и предлагает вам вытянуть любую карту и положить на стол. Затем он заключает с вами пари (и вы, и он ставите поровну), что снизу эта карта выглядит так же, как сверху. Предположим, что сверху извлеченная вами карта выглядит как пик бубен.