Страница 3 из 40
2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)
3. Особенности геометрии на сфере. (3)
4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)
5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)
6. Топологические многообразия в геометрии. (3)
§ 2. Основные понятия планиметрии
2.1. Справочная информация
На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).
Определения геометрических фигур можно дать различными способами:
1. Через род и видовое отличие.
Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.
2. Генетически (указание происхождения понятия).
Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).
Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.
4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).
Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2..., Ап. Замкнутая ломаная A1A2...АnА1 образует правильный n-угольник.
5. Аксиоматически.
К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).
Другие способы дачи определений в геометрии встречаются крайне редко.
Перейдём к определениям.
Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.
Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ....
Точка А лежит на прямой а, точка В лежит на прямой b, точка О принадлежит одновременно прямым а и b, т. е. является точкой пересечения этих прямых (рис. 1).
Рис. 1.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти две точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В (рис. 2).
Рис. 2.
[АВ] – отрезок АВ.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
Отрезок АВ не пересекает прямую а, отрезок АС пересекает прямую а (рис. 3).
Рис. 3.
Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча. Различные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными (рис. 4).
Рис. 4.
Лучи, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Точка А является начальной точкой двух лучей p и q. Лучи p и q являются дополнительными.
Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных лучей или отрезков, исходящих из этой точки – сторон угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком ? (рис. 5, 6).
Рис. 5.
Рис. 6.
На рис. 5 угол ? = ?АОВ образован двумя отрезками ОА и ОВ.
На рис. 6 угол ? образован двумя лучами р и q, имеющими начальную точку О.
Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называют развёрнутым (рис. 7).
Рис. 7.
Угол А является здесь развёрнутым.
Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на разных сторонах угла.
Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).
Рис. 8.
Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).
Рис. 9.
Сумма смежных углов равна 180°.
Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.
Угол, равный 90°, называется прямым.
Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).
Рис. 10.
Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.
На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).
Рис. 11.
р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.
Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.
Углы АОВ и COD – вертикальные.
Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):
а ? b.
Рис. 12.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра (рис. 13):
АA' – перпендикуляр к прямой a, A' – обоснование перпендикуляра.
Рис. 13.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (рис. 14).
Рис. 14.
ОС – биссектриса угла АОВ (?АОС = ?ВОС).
Пусть две прямые a и b пересечены прямой с.
Прямая с по отношению к прямым a и b называется секущей (рис. 15).