Страница 53 из 88
Так как длина хорды не вошла в формулу, то ясно, что молекулы, движущиеся по любой хорде, дают одинаковый вклад в силу. Конечно, изменение импульса при косом ударе будет меньше, но зато удары в этом случае будут чаще. Расчет показал, что оба эффекта в точности компенсируются.
Так как в сфере Nмолекул, то суммарная сила будет равна:
где v ср– средняя скорость молекул.
Давление ргаза, равное силе, поделенной на площадь сферы 4π R 2, будет равно:
где V– объем сферы.
Таким образом,
Это уравнение было впервые выведено Даниилом Бернулли в 1738 г. *11.
Из уравнения состояния идеального газа следовало: pV= const· T; из выведенного уравнения видим, что pVпропорционально v ср 2. Значит,
т.е. скорость молекулы идеального газа пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры.
Закон Авогадро
Пусть вещество представляет собой смесь различных молекул. Нет ли такой физической величины, характеризующей движение, которая была бы одинакова для всех этих молекул, например для водорода и кислорода, находящихся при одинаковой температуре?
Механика дает ответ на этот вопрос. Можно доказать, что одинаковыми у всех молекул будут средние кинетические энергии поступательного движения mv ср 2/2 .
Это означает, что при данной температуре средние квадраты скорости молекул обратно пропорциональны массе частиц:
Вернемся теперь к уравнению pV= (1/3) Nmv ср 2. Так как при данной температуре величины mv ср 2одинаковы для всех газов, то число молекул N, заключенных в данном объеме при определенных давлении pи температуре T, одинаково для всех газов. Этот замечательный закон был впервые сформулирован Авогадро.
Сколько же молекул приходится на 1 см 3? Оказывается, в 1 см 3при 0 °C и 760 мм Hg находится 2,7·10 19молекул. Это огромное число. Чтобы вы почувствовали, сколь оно велико, приведем такой пример. Положим, что газ удаляется из маленького сосудика объемом 1 см 3с такой скоростью, что в каждую секунду уходит миллион молекул. Нетрудно подсчитать, что сосуд полностью освободится от газа через миллион лет!
Закон Авогадро указывает, что при определенных давлении и температуре отношение числа молекул к объему, в котором они заключены, N/ Vесть величина, одинаковая для всех газов.
Так как плотность газа ρ = ( N/ V) m, то отношение плотностей газов равно отношению их молекулярных весов:
Относительные веса молекул могут быть поэтому установлены простым взвешиванием газообразных веществ. Такие измерения сыграли в свое время большую роль в развитии химии и имеют значение и сейчас, когда нужно найти молекулярный вес нового синтезированного вещества: надо только перевести его, не испортив, в газообразное состояние. Воздух есть смесь газов, и для того, чтобы сравнивать его плотность с плотностью других газов, удобно ввести средний молекулярный вес воздуха. Он оказывается равным 28,8. Зная эту цифру, легко находить плотность различных газов по отношению к воздуху. Например, водяной пар с молекулярным весом 18 имеет по отношению к воздуху плотность 18/28,8 = 0,62.
Скорости молекул
Теория указывает, что при одной температуре средние кинетические энергии молекул mv ср 2/2 одинаковы. При нашем определении температуры эта средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. В виде равенства этот важнейший закон записывается так:
где энергия измеряется в эргах.
Мы уже поняли ранее, что температура является какой-то мерой интенсивности теплового движения. Теперь же мы видим, что измерение температуры термометром, заполненным идеальным газом, придает этой мере на редкость простой смысл. Температура пропорциональна среднему значению энергии поступательного движения молекул.
Определим среднюю скорость молекул кислорода при комнатной температуре, которую мы для круглого счета примем в 27 °C = 300 K. Молекулярный вес кислорода 32, так что вес одной молекулы равен 32/6·10 23. Простое вычисление даст v ср= 4,8·10 4см/с, т.е. около 500 м/с. Существенно быстрее движутся молекулы водорода. Их массы в 16 раз меньше и скорости в sqrt(16) = 4 раза больше, т.е. при комнатной температуре составляют около 2 км/с. Прикинем, с какой тепловой скоростью движется маленькая, видимая в микроскоп частичка. Обычный микроскоп позволяет увидеть пылинку диаметром в 1 микрон (10 −4см), Масса такой частицы при плотности, близкой к единице, будет что-нибудь около 5·10 −13г. Для ее скорости получим около 0,5 см/с. Неудивительно, что такое движение вполне заметно.
Скорость броуновского движения горошины с массой в 0,1 г будет уже всего только 10 −6см/с. Немудрено, что мы не видим броуновского движения таких частиц.
Мы говорили о средних скоростях молекулы. Но ведь не все молекулы движутся с одинаковыми скоростями, какая-то доля молекул движется быстрее, а какая-то медленнее. Все это, оказывается, можно рассчитать. Приведем только результаты.
При температуре около 15 °C, например, средняя скорость молекул азота равна 500 м/с; со скоростями от 300 до 700 м/с движется 59 % молекул. С малыми скоростями – от 0 до 100 м/с – движется всего лишь 0,6 % молекул, Быстрых молекул со скоростями свыше 1000 м/с в газе всего лишь 5,4 % (рис. 96).
Можно рассчитать и распределение молекул по разным значениям энергии поступательного движения.
Число молекул, энергия которых более чем в два раза превосходит среднюю, уже меньше 10 %. Доля еще более «энергичных» молекул тает по мере увеличения энергии во все возрастающей степени. Так, молекул, энергия которых в 4 раза больше средней, – всего 0,7 %, в 8 раз больше средней – 0,06·10 −4 %, в 16 раз больше средней – 2·10 −8 %.
Энергия молекулы кислорода, движущейся со скоростью 11 км/с, равна 32·10 −12эрг. Средняя энергия молекулы при комнатной температуре равна всего 6·10 −14эрг.
Таким образом, энергия «одиннадцатикилометровой молекулы» по крайней мере в 500 раз больше энергии молекулы со средней скоростью. Неудивительно, что доля молекул со скоростями выше 11 км/с равна невообразимо малому числу – порядка 10 −300.
Но почему нас заинтересовала скорость 11 км/с? На стр. 161мы говорили о том, что оторваться от Земли могут лишь тела, имеющие эту скорость. Значит, забравшиеся на большую высоту молекулы могут потерять связь с Землей и отправиться в далекое межпланетное путешествие, но для этого надо иметь скорость 11 км/с. Доля таких быстрых молекул, как мы видим, настолько ничтожна, что опасность потери атмосферы Земле не грозит даже через миллиарды лет.
11
Швейцарец по происхождению, Д. Бернулли работал и жил в России; он был петербургским академиком. Не меньшую известность имеет деятельность Жана Бернулли и Якова (Жака) Бернулли.