Страница 10 из 88
Брошенный предмет движется по кривой линии, называемой параболой. Ее можно построить без труда, если движение брошенного тела рассматривать как сумму двух движений – по горизонтали и по вертикали, происходящих одновременно и независимо. Ускорение силы тяжести вертикально, поэтому летящая пуля движется по горизонтали по инерции с постоянной скоростью и одновременно по вертикали с постоянным ускорением падает на Землю. Как же сложить эти два движения?
Начнем с простого случая – начальная скорость горизонтальна (скажем, речь идет о выстреле из ружья, ствол которого горизонтален).
Возьмем лист миллиметровой бумаги и проведем вертикальную и горизонтальную линии (рис. 15). Так как оба движения происходят независимо, то через tсекунд тело переместится на отрезок v 0 tвправо и на отрезок gt 2/2 вниз. Отложим по горизонтали отрезок v 0 tи из конца его – вертикальный отрезок gt 2/2. Конец вертикального отрезка укажет точку, в которой окажется тело через tсекунд.
Это построение надо сделать для нескольких точек, т.е. для нескольких моментов времени. Через эти точки пройдет плавная кривая – парабола, изображающая траекторию тела. Чем чаще будут отложены точки, тем точнее будет построена траектория полета пули.
На рис. 16 построена траектория для случая, когда начальная скорость v 0направлена под углом.
Вектор v 0следует прежде всего разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. На горизонтальной линии будем откладывать v горt – путь, на который сдвинется пуля вдоль горизонтали через tсекунд.
Но пуля совершает одновременно движение вверх.
Через tсекунд тело поднимется на высоту h= v верт t− gt 2/2.
По этой формуле, подставляя в нее интересующие нас моменты времени, надо рассчитать вертикальные смещения и отложить их на вертикальной оси. Сначала величины hбудут возрастать (подъем), а затем убывать.
Теперь остается нанести на график точки траектории так же, как мы это сделали в предыдущем примере, и провести через них плавную кривую.
Если держать ствол ружья горизонтально, то пуля быстро зароется в землю; при вертикальном положении ствола она упадет на то место, откуда был произведен выстрел. Значит, чтобы стрелять как можно дальше, нужно ствол ружья установить под каким-то углом к горизонту. Но под каким?
Используем опять тот же прием – разложим вектор начальной скорости на две составляющие: по вертикали скорость равна v 1, а по горизонтали – v 2. Время от момента выстрела до момента достижения пулей наивысшей точки пути равно v 1/ g. Обратим внимание на то, что столько же времени пуля будет падать вниз, т.е. полное время полета до падения пули на землю есть 2 v 1/ g.
Так как движение по горизонтали равномерное, то дальность полета равна
(при этом мы пренебрегли высотой ружья над уровнем земли).
Мы получили формулу, которая показывает, что дальность полета пропорциональна произведению составляющих скорости. При каком же направлении выстрела это произведение будет наибольшим? Этот вопрос можно выразить на языке геометрии. Скорости v 1и v 2образуют прямоугольник скоростей; диагональю в нем служит полная скорость v. Произведение v 1 v 2равно площади этого прямоугольника.
Наш вопрос сводится к следующему: при заданной длине диагонали какие надо взять стороны, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей? В геометрии доказывается, что этому условию удовлетворяет квадрат. Значит, дальность полета пули будет наибольшей, когда v 1= v 2, т.е. тогда, когда прямоугольник скоростей обращается в квадрат. Диагональ квадрата скоростей образует с горизонталью угол в 45° – под таким углом и надо держать ружье, чтобы пуля летела как можно дальше.
Если v– полная скорость пули, то в случае квадрата v 1= v 2= v/sqrt(2). Формула дальности полета для этого лучшего случая выглядит так: S= v 2/ g, т.е. дальность будет вдвое больше, чем высота подъема при выстреле вверх с той же начальной скоростью.
Высота подъема при выстреле под углом в 45° будет h= v 1 2/2 g= v 2/4 g, т.е. в четыре раза меньше дальности полета.
Надо признаться, что формулы, которыми мы оперировали, дают точные результаты лишь в случае, довольно далеком от практики, – при отсутствии воздуха. Сопротивление воздуха во многих случаях играет решающую роль и в корне меняет всю картину.
Движение по окружности
Если точка движется по окружности, то движение является ускоренным, уже хотя бы потому, что в каждый момент времени скорость меняет свое направление. По величине скорость может оставаться неизменной, и мы остановим внимание именно на подобном случае.
Будем рисовать векторы скорости в последовательные промежутки времени, помещая начала векторов в одну точку. (Мы имеем на это право.) Если вектор скорости повернулся на небольшой угол, то изменение скорости, как мы знаем, изобразится основанием равнобедренного треугольника. Построим изменения скорости за время полного оборота тела (рис. 17). Сумма величин изменений скорости за время полного оборота будет равна сумме сторон изображенного многоугольника. Строя каждый треугольничек, мы молчаливо предполагали, что вектор скорости изменился скачком, на самом же деле направление вектора скорости меняется непрерывно. Совершенно ясно, что ошибка будет тем меньше, чем меньше мы будем брать угол треугольничка. Чем меньше стороны многоугольника, тем он теснее прижимается к окружности радиуса v. Поэтому точным значением суммы абсолютных величин изменений скорости за время оборота точки будет длина окружности 2π v. Величина ускорения найдется делением ее на время полного оборота T.
Итак, величина ускорения в равномерном движении по окружности выражается формулой а = 2π v/ T.
Но время полного оборота при движении по окружности радиуса Rможет быть записано в виде T= 2π R/ v.
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим для ускорения: a= v 2/ R.
При неизменном радиусе вращения ускорение пропорционально квадрату скорости. При данной скорости ускорение обратно пропорционально радиусу.
Это же рассуждение показывает нам, как направлено в каждое данное мгновение ускорение кругового движения. Чем меньше угол при вершине равнобедренных треугольников, которые мы использовали для доказательства, тем ближе к 90° угол между приростом скорости и скоростью.
Значит, ускорение равномерного кругового движения направлено перпендикулярно к скорости; а как же скорость и ускорение направлены по отношению к траектории? Поскольку скорость есть касательная к пути, то ускорение направлено по радиусу и притом к центру окружности. Эти соотношения хорошо видны на рис. 18.