Страница 53 из 62
Более трудная версия этой задачи, применявшаяся Microsoft, была использована в фильме Die Hard with a Vengeance («Крепкий орешек», 1995 год). В этом фильме коварный преступник так настроил бомбу, что она должна была взорваться, если бы Брюс Уиллис и Сэмюель Л. Джексон не решили бы эту задачу. В их распоряжении был фонтан в парке и два пластмассовых ведра указанных размеров. Отмеренную воду нужно было поставить на весы. Они не могли гадать и действовать приблизительно, потому что бомба взорвалась бы даже если бы они ошиблись всего на одну унцию (28,3 грамма). Они не могли и просто уйти, потому что у бомбы был «детектор близости цели». Уиллис и Джексон смогли найти решение, да еще и дружески переругивались при этом («Я тебе не нравлюсь, потому что я белый!» / «Ты мне не нравишься, потому что я из-за тебя могу взлететь на воздух!»).
Вам нужен один кусок золота, чтобы заплатить вашему работнику за первый день. Очевидный способ — отрезать один кусок от конца золотого слитка. Менее очевидный способ: отрезать этот кусок в середине слитка, использовав для этого оба разрешенных вам разреза. Попробуйте сначала очевидный план (оставив за собой право пересмотреть свое решение). Вы отрезаете один кусок от конца бруска и отдаете его работнику.
Это оставляет вам слиток, состоящий еще из шести кусков, и один-разрез.
На второй день вы можете отрезать еще один кусок на конце слитка, но тогда у вас останется слиток из пяти кусков, а отрезать от него уже больше ничего нельзя. Вам нечем будет платить работнику на третий день.
Альтернативное решение — отрезать сегмент, состоящий из двух кусков. Тогда в конце второго дня вы можете отдать его работнику и получить от него назад один кусок как сдачу (при этом вы должны надеяться на то, что работник этот кусок еще не потратил).
Это оставит вас со слитком, состоящим из четырех кусков, одним куском, который вы получили как сдачу, а разрезов больше вы уже делать не можете. На третий день вы отдаете работнику один кусок. На четвертый день вы отдаете ему то, что осталось от слитка, то есть четыре куска, а два меньших он вам возвращает как сдачу. Затем вы аналогичным образом используете их, чтобы заплатить работнику на пятый, шестой и седьмой день.
Основная идея решения аналогична той, что использовалась в задаче о золотом слитке. Вы используете бинарную систему счисления. Положите в первую коробку 1 доллар, во вторую 2, в третью — 4 и т. д. Любую нужную сумму можно представить как сумму различных степеней числа 2.
Отличие от приятной загадки с золотым бруском заключается в том, что данная головоломка проверяет, как вы «справляетесь с исключениями». Одна из сложностей связана с тем, что не все n оказываются суммой последовательных степеней числа 2. У вас, вероятно, образуется какой-то «остаток» денег после того, как вы разложите по коробкам все возможные для данного n последовательные степени числа 2. Еще одна проблема — вам может не хватить коробок.
Допустим, у вас 100 долларов. У вас будут коробки, в которые вы положите 1, 2, 4, 8,16, 32. доллара, но у вас окажется недостаточно денег для того, чтобы в следующую коробку положить 64 доллара, поскольку вы уже положили в предыдущие коробки 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 доллара. Это значит, что у вас есть остаток в 37 долларов, а это число — нечетное и никак не может быть степенью двойки.
Каким же образом вы сможете получить любую требуемую сумму от 0 долларов до 100? Используя первые шесть коробок, вы можете выплатить любую сумму от 0 до 63 долларов (чтобы выплатить 0 долларов, вы «передаете» ноль коробок!!!).
А что если вам нужно выплатить 64 доллара? Сначала вы отдаете седьмую коробку, в которой 37 долларов. Затем вычитаете 37 долларов из 64 долларов, и остается 27 долларов. Эту сумму вы можете выплатить, используя первые шесть коробок, суммы в которых соответствуют степеням числа 2. В данном конкретном случае вы отдаете коробки, сумма денег в которых равна 37, 16, 8, 2 и 1 доллару. Аналогичный принцип можно использовать для любой суммы в пределах 100 долларов.
Когда интервьюер спрашивает вас об «ограничениях» для b и n, он имеет в виду: «Каким образом вы можете определить, будет ли данный план работать для конкретных значений b и n?». Например, очевидно, что, если у вас есть миллион долларовых банкнот и всего одна коробка, такой план работать не будет. У вас недостаточно коробок для такой суммы. Обратите внимание, что обратная проблема вас не должна беспокоить: если у вас мало долларов и много коробок — все в порядке.
Вам нужно найти общую формулу, которая связывает b и n. Набросайте таблицу, показывающую, какую сумму вы можете выплатить, если у вас есть данное количество коробок.
b — n
1 — до 1 доллара
2 — до 2 + 1 = 3 долларов
3 — до 4 + 2 + 1 = 7 долларов
4 — до 8 + 4 + 2 + 1 = 15 долларов.
Это приемлемый ответ. Он будет выглядеть немного более изящно, если вы добавите по 1 к правой и левой части: n + 1 < 2b. Это, аналогично утверждению, что n должно быть меньше или равно 2b.
Как бы ни отражала эта загадка «цифровой дух нашего времени», она использовалась в той или иной форме еще со времен Ренессанса. Обычно ее называют задачей на взвешивание Баше, потому что она была упомянута в книге Клода Каспара Баше Problemes plaisans et dekctables(фр. «Приятные и восхитительные задачи»), опубликованной в 1612 году.[156] Баше спрашивал, какое минимальное количество гирь необходимо для того, чтобы уравновесить любой вес от 1 до 40 фунтов. Еще более ранняя версия этой задачи, тоже о взвешивании, была опубликована в трактате об измерениях Николо Тартальи в Венеции в 1556 году. Ответ, конечно, — 1, 2, 4, 8, 16 и 32 фунта. Для ренессансных гуманистов необходимость использования степеней числа 2 была гораздо менее очевидной, чем для интервьюеров из Microsoft, привычных к использованию двоичной системы счисления.
Четыре. Если вы достаете только три драже — они могут все оказаться разных цветов. Если вы берете четыре драже — по крайней мере два из них обязательно будут одинакового цвета.
Это вариация Microsoft на тему более старой задачи о том, сколько носков вам нужно достать из ящика комода в темноте, чтобы быть уверенными в том, что у вас будет пара, подходящая по цвету. В компании Bankers Trust, например, спрашивают именно о носках. Если носки могут быть двух цветов, то ответ, очевидно, три.
Представьте, что вы взяли какой-то фрукт из корзины с надписью «Яблоки». Какую информацию это вам дает? Только один бит информации, который сообщает вам, яблоко это или апельсин. Допустим, это яблоко. Корзина, из которой вы его только что достали с названием «Яблоки», не может быть на самом деле корзиной, где только яблоки. Если уж вы нашли там яблоко, это значит, что в данной корзине должны быть перемешаны яблоки с апельсинами. Прекрасно. Тогда у нас остаются две корзины. На одной из них надпись «Апельсины», а на другой — «Яблоки и апельсины». В корзине «Апельсины» не может быть апельсинов (потому что все ярлыки с названиями ложные), это не может быть и смесь яблок с апельсинами (мы ведь уже знаем, что это корзина с ярлыком «Яблоки», из которой мы достали яблоко). Таким образом, в корзине с ярлыком «Апельсины» должны быть только яблоки, и тогда в корзине с ярлыком «Яблоки и апельсины», очевидно, одни апельсины.
Можно ли считать, что мы нашли решение? Нет. Мы сделали оптимистичное предположение о том, что достанем яблоко из корзины с названием «Яблоки», Это сразу позволяет прийти к выводу, что в данной корзине смесь апельсинов и яблок. Но вы также могли достать апельсин из корзины с надписью «Яблоки». В данном случае невозможно установить, что в этой корзине с надписью «Яблоки» только апельсины или смесь яблок и апельсинов.
156
156 «ее называют задачей на взвешивание Баше…» См. ball «mathematical Recreations and Essays», стр. 50.