Страница 163 из 205
Оттого что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он не лишен содержания. Наоборот, пуль имеет весьма определенное содержание. Как граница между всеми положительными и отрицательными величинами, как единственное действительно нейтральное число, не могущее быть ни положительным, ни отрицательным, он не только представляет собой весьма определенное число, но и по своей природе важнее всех других, ограничиваемых им чисел. Действительно, нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет данное число. Вместо нуля для этой цели можно было бы применить любой другой знак, но лишь при том условии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль, был бы равен нулю. Таким образом, в самой природе нуля заключено то, что он находит такое применение и что только он один может получить такое применение. Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; если его сделать делителем или делимым по отношению к любому другому числу, то это число превращается в первом случае в бесконечно большое, а во втором случае — в бесконечно малое; нуль есть единственное число, находящееся в бесконечном отношении к любому другому числу. Дробь % может выражать любое число между —оо и +оо и представляет в каждом случае некоторую действительную величину. — Действительное содержание какого-нибудь уравнения обнаруживается со всей ясностью лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение тем самым приравнено к нулю, как это имеет место уже в квадратных уравнениях и как это является почти общим правилом в высшей алгебре. Функцию F(x,y) = 0 можно затем приравнять также к некоторому z, чтобы дифференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и получить его частную производную.
Но ничто от каждого отдельного определенного количества само имеет еще количественное определение, и лишь поэтому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые без всякого стеснения оперируют с нулем вышеуказанным образом, т. е. оперируют с ним как с определенным количественным представлением, приводя его в количественные отношения к другим количественным представлениям, — поднимают страшный вопль, когда находят это у Гегеля в такой обобщенной форме: ничто от некоторого нечто есть некое определенное ничто.
Перейдем теперь к (аналитической) геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начиная от которой на данной прямой в одном направлении отсчитываются положительные величины, а в противоположном — отрицательные. Таким образом, здесь нулевая точка не только так же важна, как любая точка, обозначаемая при помощи некоторой положительной или отрицательной величины, но и гораздо важнее всех их; это — та точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет направление той линии, на которую наносятся другие точки, конечные точки абсцисс. Если, например, чтобы получить уравнение круга, мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна проходить через центр круга. Все это находит свое применение также и в механике, где точно так же при вычислении движений принятая в том или другом случае нулевая точка образует главный пункт и стержень всей операции. Нулевая точка термометра — это вполне определенная нижняя граница температурного отрезка, разделяемого на произвольное число градусов и служащего благодаря этому мерой температур как внутри самого себя, так и более высоких или более низких температур. Таким образом, и здесь нулевая точка является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра представляет отнюдь не чистое абстрактное отрицание, а очень определенное состояние материи — именно ту границу, у которой исчезает последний след самостоятельного движения молекул и материя действует только как масса.
Итак, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет нечто весьма определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. доказывает, что в качестве границы он важнее, чем все действительные, ограничиваемые им величины.
Нулевые степени. Их значение в логарифмическом ряду:
0 1 2 3 log
10, 101, 102, 103. Все переменные проходят где-нибудь через значение единицы; таким образом, также и постоянная в переменной степени (О) равняется единице, когда х = 0. Выражение a° = 1 не означает ничего другого, кроме того, что единица берется в ее связи с другими членами ряда степеней о. Только в этом случае оно имеет смысл и может дать полезные результаты (Σx° = х/ω)[457], в противном же случае — нет. Отсюда следует, что и единица, как бы она ни казалась тождественной самой себе, заключает в себе бесконечное многообразие, ибо она может быть нулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не воображаемое, обнаруживается всякий раз, когда единица рассматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как мгновенная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим процессом.
√—1. — Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соотносятся с положительными величинами, реальны лишь в рамках своего отношения к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они носят чисто воображаемый характер. В тригонометрии и в аналитической геометрии, а также в построенных на них отраслях высшей математики, они выражают определенное направление движения, противоположное положительному направлению. Но синусы и тангенсы круга можно с одинаковым успехом отсчитывать как с первого, так и с четвертого квадранта и, таким образом, можно прямо заменить плюс на минус, и наоборот. Точно так же в аналитической геометрии можно отсчитывать абсциссы в круге, начиная либо с периферии, либо с центра, и вообще у всех кривых абсциссы можно отсчитывать от кривой в направлении, обозначаемом обыкновенно знаком минус, [или] в любом другом направлении, и тем не менее мы получаем правильное рациональное уравнение кривой. Здесь плюс существует только как необходимое дополнение минуса, и наоборот. Но алгебраическая абстракция рассматривает отрицательные величины как действительные, самостоятельные величины, имеющие значение также и вне отношения к некоторой большей, положительной величине.
Математика. Обыкновенному человеческому рассудку кажется нелепостью разлагать некоторую определенную величину, например бином, в бесконечный ряд, т. е. в нечто неопределенное. Но далеко ли ушли бы мы без бесконечных рядов или без теоремы о биноме?
Асимптоты. Геометрия начинает с открытия, что прямое и кривое суть абсолютные противоположности, что прямое полностью не выразимо в кривом, а кривое — в прямом, что они несоизмеримы между собой. И тем не менее уже вычисление круга возможно лишь в том случае, если выразить его периферию в виде прямых линий. В случае же кривых с асимптотами прямое совершенно расплывается в кривое и кривое в прямое, — точно так же как расплывается представление о параллелизме: линии не параллельны, они непрерывно приближаются друг к другу и все-таки никогда не сходятся. Ветвь кривой становится все прямее, не делаясь никогда вполне прямой, подобно тому как в аналитической геометрии прямая линия рассматривается как кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной. Сколь бы большим ни сделалось — х логарифмической кривой, у никогда не станет = 0.
457
Это выражение встречается в книге Ш. Боссю «Трактаты о дифференциальном исчислении и интегральном исчислении» (Ch. Bossut. «Traites do Calcul differentiel et de Calcul integral». T. I, Paris, 1798, p. 38), на которую Энгельс ссылается в заметке «Прямое и кривое». В главе об «Интегральном исчислении с конечными разностями» Боссю рассматривает прежде всего такую задачу: «Интегрировать, или суммировать, целочисленные степени переменной величины x». При этом Боссю предполагает, что разность (дифференциал) Ar является постоянной, и обозначает ее греческой буквой ю. Так как сумма (интеграл) от Ax, или от ю есть x, то сумма от ю х 1, или от юх°, тоже будет равна х. Это равенство Боссю пишет так: Еюх = х. Затем Боссю выносит постоянную ю, помещая ее перед знаком суммирования, и получает выражение юЕх = х, а отсюда получается равенство Ех = x/ю. Это последнее равенство используется далее у Боссю для нахождения величии Ex, Ex2, Ех3 и т. д. и для решения других задач.