Страница 36 из 44
Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём
(8)
(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f (x ) ® g (u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x ), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде
. (9)
При некоторых условиях на f (x ) справедлива формула Пуассона
,
находящая применение в теории тэта-функций .
Если функция f (x ) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v + iw . Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при |w | < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование )
.
Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x ) таких, что (1 + |x |)–1 f (x ) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).
Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции , это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп . Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x ) Стилтьеса интегралом
(10)
и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g (u ) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u 1 ,..., un , x1 ,...,xn было
(теорема Бохнера — Хинчина).
Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля , широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.
Фурье ряд
Фурье' ряд, тригонометрический ряд , служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x ) имеет период 2T , то её Ф. р. имеет вид
,
где a , an , bn (n ³ 1) — Фурье коэффициенты . В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций , а именно — по тригонометрической системе 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x ,..., cos nx , sin nx ,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)
обращают в минимум интеграл
,
где tn (x ) — произвольный тригонометрический полином порядка £ n , а функция f (x ) интегрируема с квадратом. При этом
,
так что функции f (x ), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций ).
Для любой интегрируемой функции f (x ) коэффициенты Фурье an , bn при n ® ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x ) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x ) интегрируем, то ряд сходится и имеет место равенство Парсеваля
.
Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел an , bn со сходящимся рядом существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.
Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x ) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле ). Более общо, если f (x ) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции ), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x ) непрерывна (К. Жордан ). Если f (x ) непрерывна и её модуль непрерывности w(d, f ) удовлетворяет условию , то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).